Nullstellen bestimmen

06.05.2012, 17:40

FeLa12

Nullstellen bestimmen

Hallo zusammen,

ich versuche gerade ein Beispiel aus der Vorlesung nachzuvollziehen, da ich eine ähnliche Aufgabe rechnen muss. Zur besseren Übersicht nummeriere ich mal die Schritte durch:

Es seien die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x\to x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} module 21 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

1.) Wegen $\begin{eqnarray*} 21 = 3 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ bestimme zunächst die Nullstellen modulo 3 und 7.

2.) Einsetzen liefert $\begin{eqnarray*} \left\{ 1+3\mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ als Nullstellenmenge modulo 3 und $\begin{eqnarray*} \left\{ 2+7\mathbb Z , 4+7 \mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ als Nullstellenmenge modulo 7.

3.) Damit hat $\begin{eqnarray*} x\to x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$ genau 12 = 2 Nullstellen modulo 21.

4.) Durch lösen der simultanen Kongruenzen $\begin{eqnarray*} x\equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\equiv 2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod7 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\equiv 4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod7 \end{eqnarray*}$ erhält man die Nullstellenmenge $\begin{eqnarray*} \left\{ 16,4\right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x\to x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} module 21 \end{eqnarray*}$ .

Schritt 1 und 4 habe ich soweit verstanden. Allerdings habe ich keine Idee, was genau in Schritt 2 gemacht wird und wie er auf die 12 in Schritt 3 kommt.

Für eine Hilfe wäre ich sehr dankbar!

06.05.2012, 17:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von FeLa12
und wie er auf die 12 in Schritt 3 kommt.

Da soll sicher keine 12 stehen, sondern ein 1*2. Augenzwinkern

06.05.2012, 17:59

FeLa12

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Ah ok

Hatte mich schon gewundert. Und das folgt wahrscheinlich daraus, dass es für modulo 3 eine Lösung und für module 7 zwei Lösungen gibt?!

Kannst du mir Schritt 2 auch noch erklären?

06.05.2012, 18:03

HAL 9000

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Na in Schritt 2 werden die Nullstellen modulo 3 sowie modulo 7 angegeben. Bei diesen kleinen Moduln ermittelt man die am besten simpel durch Prüfen (d.h. einfach einsetzen) aller möglichen Restklassen! Und da ergeben sich eben diese Lösungen.

06.05.2012, 19:00

FeLa12

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Ok, klingt logisch.

Allerdings habe jetzt noch eine Frage zur richtigen Aufgabe:

Dort geht es um eine Funktion modulo 99.
Die Primfaktorzerlegung lautet ja $\begin{eqnarray*} 99=3\cdot3\cdot11 \end{eqnarray*}$ .

Wie gehe ich bei Schritt 4 jetzt damit um, dass die 3 zweimal vorkommt? Bilde ich dort dann Kongruenzensysteme bspw. mit 3, 3 und 11 oder mit 9 und 11 oder ... ?

06.05.2012, 19:26

HAL 9000

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Mit 9 und 11:

Primzahlpotenzen wie 3²=9 darfst du nicht aufteilen, denn andernfalls ist die Teilerfremdheit der Einzelmodule nicht gewährleistet.

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