Stoch Abhängigkeit von X und X²

24.01.2007, 20:30	Schmonk	Auf diesen Beitrag antworten »
Stoch Abhängigkeit von X und X² Hallo! Ich hänge mal wieder an der stochastischen Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Das will mir einfach nciht in den Kopf. Also die Aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} (\Omega, A, P) \end{eqnarray}$ ein W-Raum und X eine reelle Zufallsgröße auf $\begin{eqnarray} (\Omega, A, P) \end{eqnarray}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray} P_X =\mu_{[-1,1]} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu_{[-1,1]} \end{eqnarray}$ die kontinuierliche Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ bezeichnet. Weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ bezüglich P unkorrelierte reelle Zufallsgrößen sind, die bezüglich P nicht stochastisch unabhangig sind. Die Sache mit der Unkorreliertheit habe ich schnell hinbekommen. aber nun scheitere ich wiedermal an der Stochastischen Abhängigkeit. Ich dachte, dass es ja für die Abhängigkeit reicht, wenn ich ein Gegenbeispiel zur Unabhängigkeit angebe. Meine Gedankengänge waren: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ stochastisch abhängig $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X^{-1}(\mathfrak{B}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (X^2)^{-1}(\mathfrak{B}) \end{eqnarray}$ stoch. abhängig. also würde es reichen, wenn ich zB $\begin{eqnarray} [-1,0] \in X^{-1}(\mathfrak{B}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [0,1] \in (X^2)^{-1}(\mathfrak{B}) \end{eqnarray}$ betrachte. dort gilt $\begin{eqnarray} P([-1,0] \cap [0,1])=P(0)=\frac 12 \neq \frac 12 \cdot \frac 12 =P([-1,0])\cdot P([0,1]) \end{eqnarray}$ Aber ich muss gestehen, dass das eher geraten als gewusst ist und ich ja zb $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ nirgendwo verwendet habe. Wie muss ich richtig vorgehen? Was weiß ich über $\begin{eqnarray} P_{X^2} \end{eqnarray}$ , wenn ich $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ kenne? Gruß und Dank!
05.09.2007, 10:14	siski piski	Auf diesen Beitrag antworten »
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