Konvergenz von Funktionsfolgen

06.05.2012, 18:34	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionsfolgen Meine Frage: Hallo, ich habe mich versucht in das Thema hineinzulesen, bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das erhaltene Wissen richtig anwenden kann. Ich wollte folgende Aufgaben lösen: a) $\begin{eqnarray} f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n\|x\|} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} g_{n}(x) = e^x \cdot \sqrt[n]{e} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen ob ich mit meinen Ansätzen bzw. Ideen richtig liege? Danke im Vorraus Meine Ideen: zu a) $\begin{eqnarray} f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n\|x\|} = \frac{nx}{n\cdot (\frac{1}{n} + \|x\|) } = \frac{x}{\frac{1}{n}+ \|x\| } <br /> <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{x}{\frac{1}{n}+\|x\| } = \frac{x}{\|x\|} <br /> <br /> \Rightarrow f(x) = \left\{ 0, x = 0 \right\} <br /> \left\{ -1, x<0\right\} <br /> \left\{ 1, x>0\right\} <br /> <br /> x = \frac{1}{n} <br /> <br /> \| f_{n}(x) - f(x)\| = \frac{n\cdot \frac{1}{n} }{1+n\cdot \frac{1}{n} } = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Epsilon wird nicht beliebig klein \Rightarrow keine gleichmäßige Konvergenz Die Funktionsfolge ist punktweise konvergent zu b) $\begin{eqnarray} g_{n}(x) = e^{x} \cdot \sqrt[n]{e} <br /> <br /> \lim_{n \to \infty } g_{n}(x) = e^{x} <br /> <br /> f(x) = \left\{ 1, x=0\right\} <br /> \left\{ e^x, x>0\right\} <br /> \left\{ \frac{1}{e^{x} }, x<0 \right\} \end{eqnarray}$ Punktweise konvergent und nicht gleichmäßig konvergent, da für verschiedene $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , die Funktionsfolge gegen unterschiedliche Grenzen konvergiert
12.05.2012, 16:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionsfolgen a) sieht richtig aus, ließe sich aber abkürzen: die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ sind stetig, die Grenzfunktion nicht, also konvergiert die Folge nicht gleichmäßig. Bei b) weiß ich nicht, woher das f kommt und was das zu bedeuten hat... $\begin{eqnarray} (g_n) \end{eqnarray}$ ist allerdings gleichmäßig konvergent. mfg, Ché Netzer

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