Wahrscheinlichkeitsrechnung

06.05.2012, 18:53

jenny234

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo !! (:

Habe eine Frage, bei der ich nicht wirklich weiterkomme:

Eine Abfüllmaschine füllt erfahrungsgemäß 15% der Dosen schlecht ab. Man überprüft 20 Dosen.
Tatsächlich wurden 5 schlecht abgefüllt Dosen gezählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt man eine so starke oder noch stärkere Abweichung vom erwarteten Wert ?

Also ich weiß, dass p=0,15 ist und n=20.
Daraus folgt, dass der Erwartungswert 3 und die Standardabweichung die Wurzel aus 2,55 ist.

Allerdings weiß ich jetzt nicht, welches Intervall ich ausrechnen muss bzw. wie ich weiter vorgehe.

06.05.2012, 19:31

Dopap

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bei diesen kleinen Zahlen ist es noch nicht angebracht mit der Normalverteilung zu approximieren.

Die Wkt 0 bis 5 schlechte Dosen zu erwischen ist nach der Binomialverteilung:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 5)= \sum_{k=0}^5 \binom {20} k 0.15^k\, 0.85^{20-k} \end{eqnarray*}$

dafür hat der moderne Taschenrechner die bincdf= binomiale cumulierte density funktion.

Die Wkt, soviel oder noch mehr schlechte Dosen zu erwischen ist das Gegenereignis + genau 5 schlechte Dosen zu erwischen.

06.05.2012, 19:49

jenny234

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also du meinst
1 - P (X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5) + P (X=5) ?

Ja das wäre eh irgendwie logisch, weil meine Professorin hat mit uns dieses Beispiel einmal gerechnet und da berechneten wir die Wahrscheinlichkeit von
1- [ P (2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5 ) ]
Weil wir Erwartungswert - Standardabweichung und Erwartungswert + Standardabweichung gerechnet haben (mit dem gerundeten Wert).

06.05.2012, 20:13

Dopap

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oder anderst ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} p(X\geq 5) = 1-p(X \leq 4)=0.170 \end{eqnarray*}$

der Grund der Umformulierung liegt darin, dass "bincdf" immer die Verteilungsfunktion darstellt.

mittels Normalverteilung samt Stetigkeitskorrektur ist der Wert 0.174

was Ihr da mit $\begin{eqnarray*} 2 \leq X \leq 5 \end{eqnarray*}$ gerechnet habt, ist mir nicht klar verwirrt

verwirrt

Ist das eine andere Aufgabe?

06.05.2012, 21:37

jenny234

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Ich habe jetzt zufällig im Internet meine Aufgabe gefunden und auch die Lösung dazu !
Hier der Link zur vollständigen Aufgabe (hoffe es funktioniert, ansonsten am besten den Link kopieren)
Die Aufgabe 2b. wäre es hier und die Lösung steht anbei: 0,346

http://www.kurtsoeser.at/docs/wifi/uebun...WIFIVersion.pdf

Ich habe jetzt mehreres durchprobiert und bin dann auf die Lösung gekommen, indem man
1 - [ P ( 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 ) ]
berechnet.

Allerdings habe ich keinen Plan, wieso von 2 bis 4 und dann die Gegenwahrscheinlichkeit ?? Irgendwelche Ideen ?

06.05.2012, 21:52

jenny234

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ahh ich verstehe gerade gar nichts mehr !

Ich habe hier jetzt noch ein Beispiel komplett gleiches Schema wie die andere Aufgabe gefunden und hier muss man jetzt doch wieder so rechnen, wie es Dopap vorhin beschrieben hat.

Der Link zum ähnlichen Beispiel:
http://mone.crillovich-cocoglia.at/cimu/...lverteilung.pdf
Nr. 11b. !!

Genau dasselbe Muster, wie das andere Beispiel und hier stimmt es, dass man

1 - P ( X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 ) rechnet, so wie es mir oben bei der anderen Aufgabe auch beschrieben worden wäre.

Wenn ich dasselbe Schema allerdings bei der 2a. anwende (meine ursprüngliche Aufgabe), dann kommt etwas falsches heraus.

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06.05.2012, 21:56

Dopap

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ja richtig,
In der Aufgabe ist auch die Abweichung nach unten gemeint!

demnach $\begin{eqnarray*} 2\cdot 0.1738 = 0.348! \end{eqnarray*}$

die Abweichung $\begin{eqnarray*} z=\frac {5-3}{1.6} \end{eqnarray*}$ vom Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu =3 \end{eqnarray*}$

ist standardisiert.

Es geht also um $\begin{eqnarray*} 2 \Phi(-z) \end{eqnarray*}$

ganzzahlig umgerechnet um $\begin{eqnarray*} 1-P(2\leq X \leq 5) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------
EDIT: hab deine 2. Post noch nicht gelesen!

06.05.2012, 22:20

jenny234

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Allerdings kommt wenn man
1- [ P ( 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5 ) ]
rechnet, ja nicht das richtige Ergebnis 0,346 heraus ?!

Das kommt laut meiner Rechnungen nur bei
1- [ P ( 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 ) ] heraus.

06.05.2012, 22:42

Dopap

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Wenn du dich entschlossen hast mit Normalverteilung zu arbeiten, dann ist die Rückkehr zu ganzen Zahlen nicht mehr möglich:

mit $\begin{eqnarray*} z=\frac {5-3}{1.6}=1.25 \end{eqnarray*}$ liegt alles fest:

$\begin{eqnarray*} p=1-(\phi (z)-\phi(-z)) = 2 \phi(-z) \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 22:52

jenny234

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ja schon, aber wenn ich das rechne, so wie es oben steht:
2 * Phi von minus 1,25
dann kommt bei mir auch nicht das Ergebnis (0,346) heraus.
Phi vo minus 1,25 wäre bei mir 0,1056 und das *2 = 0,2112

07.05.2012, 00:38

Dopap

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also nochmal exakt:

$\begin{eqnarray*} p=p(0 \leq X \leq 2)+p( 5 \leq X \leq 20)=0.346 \end{eqnarray*}$

07.05.2012, 11:10

jenny234

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wenn ich es aber so rechne, kommt bei mir was andres raus:

das wäre ja das gleiche, wie

1 - P ( 3 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 )

(bzw. es so auszurechnen, geht schneller als von 0-2 und 5-20 zu rechnen)

und bei dieser Rechnung würde bei mir aber 0,575049432 herauskommen, statt dem richtigen Ergebnis 0,346

07.05.2012, 11:20

Math1986

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Da Dopap offline ist: Du solltest, wie er es gesagt hat, nicht mit der Normalverteilung, sondern mit der Binomialverteilung direkt rechnen.

07.05.2012, 11:43

jenny234

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jetzt hab ichs verstanden, warum man
1 - P ( 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 ) rechnet.
Aber trotzdem danke !

07.05.2012, 11:58

Math1986

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Zitat:

Original von jenny234
jetzt hab ichs verstanden, warum man
1 - P ( 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4 ) rechnet.

Warum?
Erscheint mir falsch

$\begin{eqnarray*} 1 - P ( 3 \leq X \leq 4 ) \end{eqnarray*}$ erscheint mir richtig.

07.05.2012, 14:54

jenny234

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Da der Erwartungswert 3 ist und tatsächlich wurden 5 schlecht abgefüllte Dosen gezählt. Daher muss man alles ab 5 berechnen und auch die schwächere Abweichung, alles unter 1 (da 3+2 ergibt die tatsächlich gefundene Zahl der schlecht abgefüllten und daher auch 3-2 für die schwächere Abweichung). Und am schnellsten herausfinden, tut man das dann mit der Gegenwahrscheinlichkeit.

07.05.2012, 15:42

Math1986

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Ja, du hast recht, $\begin{eqnarray*} 1 - P ( 2 \leq X \leq 4 ) \end{eqnarray*}$ ist richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2012, 15:55

Dopap

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und zum Vergleich die Wkt per Normalverteilung:

a.) mit Stetigkeitskorrektur:
p=0.348 ( brauchbar! )

b.)ohne Stetigkeitskorrektur:
p=0.210 ( nicht brauchbar! )

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