Konvergenz

06.05.2012, 22:26

snaggy

Konvergenz

Meine Frage:
Habe folgende Aufgabe : Untersuchen sie folgene Folge auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz $\begin{eqnarray*} f_{n} : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \sin(\frac{x}{n} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sin(\frac{x}{n} ) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ punktweise Konvergenz

$\begin{eqnarray*} |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon |\sin(\frac{x}{n}) -0 | <\epsilon |sin(\frac{x}{n})| \leq |\frac{x}{n}| <\epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass f nicht gleichmäßig konvergent ist, da x belieb groß gewählt werden kann...

Ist meine Darstellung so korrekt ? Oder reicht es nicht bzw. ist es fehlerhaft? Danke für eine Antwort im Vorraus
lg

06.05.2012, 22:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von snaggy
$\begin{eqnarray*} |sin(\frac{x}{n})| \leq |\frac{x}{n}| <\epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass f nicht gleichmäßig konvergent ist, da x belieb groß gewählt werden kann...

So richtig kommt hier m.E. nicht raus, wieso die gleichmäßige Konvergenz nicht erfüllt ist - insbesondere nicht aus dieser angegebenen Ungleichung. unglücklich

07.05.2012, 12:15

snaggy

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Ahja

jetzt bin ich aber genauso schlau wie vorher ... Soll ich nun für x noch einen beliebigen Wert annehmen beispielsweise $\begin{eqnarray*} x = 1/n \end{eqnarray*}$ ? dann hätte ich doch $\begin{eqnarray*} 1/n^2 < \epsilon \end{eqnarray*}$ und das ist doch garantiert nicht für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ erfüllt ?
Steh so ein bisschen auf dem Schlauch

07.05.2012, 13:09

HAL 9000

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Was bedeutet denn gleichmäßige Konvergenz ganz genau, also laut Definition: Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ muss es dann ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ geben, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ sowie alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich (hier ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt.

Willst du nun diese gleichmäßige Konvergenz widerlegen, dann musst du gemäß Invertierung dieser Aussage ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass du für beliebig große $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ immer wieder ein $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| f_n(x)-f(x) \right| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden kannst! Und das ist doch hier locker möglich, ein solches $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu finden.

-----------------------------------------

Hier dagegen

Zitat:

scheinst du begründen zu wollen, dass aus dem unbeschränkten Wachstum des mittleren Terms auch entsprechendes für den linken, aber doch ja kleineren (!?!) Term gilt? Da ist keine Logik dabei. unglücklich

07.05.2012, 13:27

snaggy

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Ok jetzt hab ich nochmal die Definitonen vor mir auf dem Bildschirm, die kannte ich ja ohnehin schon, sonst hätte ich ja gar nicht so angesetzt .... also neuer Versuch, wenn das mit der Abschätzung nicht geht, so wie ich das vor hatte, muss halt was neues her.

Dann geht es vielleicht über das Supremum -.-

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb R } |sin\frac{x}{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Darf ich es jetzt abschätzen mit $\begin{eqnarray*} x/n \end{eqnarray*}$

weil dann folgt ja, dass das sup unendlich ist für alle n und somit ist es dann wirklich nicht gleichmäßig konvergent...
Ich hab einfach keinen anderen Ansatz mehr ...
das Supremum von $\begin{eqnarray*} sin(x/n) = 1 \end{eqnarray*}$ ... Hilft mir das denn ?

07.05.2012, 13:45

HAL 9000

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Du widersprichst dir selber:

Zitat:

Original von snaggy
dass das sup unendlich ist für alle n

Nein.

Zitat:

Original von snaggy
das Supremum von $\begin{eqnarray*} sin(x/n) = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es. Und na klar hilft das:

Zitat:

Original von HAL 9000
Willst du nun diese gleichmäßige Konvergenz widerlegen, dann musst du gemäß Invertierung dieser Aussage ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass du für beliebig große $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ immer wieder ein $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| f_n(x)-f(x) \right| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden kannst!

Wähle einfach $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1 \end{eqnarray*}$ sowie für beliebiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{x}{n} \right)=1 \end{eqnarray*}$ , wie etwa $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2}n \end{eqnarray*}$ - schon ist die gleichmäßige Konvergenz widerlegt.

07.05.2012, 13:57

snaggy

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ahhh jetzt hab ichs glaube verstanden. Zum Verständnis :

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n|x|} = \frac{x}{\frac{1}{n}+|x| } \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) = \frac{x}{|x|} \Rightarrow f_{n}(x) \end{eqnarray*}$ ist punktweise konvergent

$\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \epsilon = 1/2 |f_{n}(x) - f(x) | > \epsilon | \frac{n\cdot \frac{1}{n} }{1+n\cdot \frac{1}{n} } - 0| > \epsilon \Rightarrow \frac{1}{2} > \epsilon \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergent.

Wenn das richtig ist, dann müsste ich es verstanden haben smile

07.05.2012, 14:24

HAL 9000

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Naja, über die exakte Verwendung von $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ scheinst du dir noch ein paar Gedanken machen zu müssen, aber im Grunde genommen hast du es wohl jetzt. Augenzwinkern

07.05.2012, 14:31

snaggy

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OK wunderbar smile

vielen Dank. Habe im Eifer des Gefechts, das falsche Zeichen benutzt. Auf meinem Blatt steht ein größer gleich ^^ aber trotzdem Danke für den Hinweis und einen schönen Restmontag

07.05.2012, 14:39

HAL 9000

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Hab doch noch einen kleinen Fehler entdeckt:

Zitat:

Original von snaggy

$\begin{eqnarray*} | \frac{n\cdot \frac{1}{n} }{1+n\cdot \frac{1}{n} } - {\color{red} 0}| > \epsilon \end{eqnarray*}$

Statt $\begin{eqnarray*} {\color{red} 0} \end{eqnarray*}$ muss es dort natürlich $\begin{eqnarray*} {\color{red} 1} \end{eqnarray*}$ heißen, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} f\left( \frac{1}{n} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

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