Suprema und Infima von Mengen

07.05.2012, 08:55

SilverShadow

Suprema und Infima von Mengen

Hallo!
Mit dem Supremum und Infimum bei Funktionen kenne ich mich eigentlich aus, aber bei dieser Aufgabe verwirren mich die Mengen:

Sei A Teilmenge von R:
a) Zeigen sie supA - infA = sup (x-y) ; mit x,y in A

Ich nehme hier jetzt mal ein Beispiel: A:= {1,2,3}; ist dann 3 das Supremum der Menge oder wie soll man das verstehen?
Hätte jetzt erstmal so umgeformt (Brauche ich da eigentlich = oder Logik <=>?):
supA - infA = supA + sup-A ; ab da hänge ich fest, weil ich nicht weiß wie ich da jetzt ein y reinbekommen soll.

b) Beispiel gesucht, sodass $\begin{eqnarray*} sup|x| - inf|x| = sup (x-y) \end{eqnarray*}$ mit x,y in A nicht gilt.
Wenn ich jetzt wieder das obige Beispiel nehme, wäre z. B. x=2. Der Betrag von 2 wäre 2, aber was soll denn das Supremum einer Zahl sein? Das verstehe ich überhaupt nicht.

c) Geben Sie (mit kurzer Begründung) eine “möglichst große” Teilmenge
von R an, so dass (b) gilt.

Gut, das sollte man erst klären, wenn ich a) und b) verstanden habe.

Vielen Dank schonmal! smile

08.05.2012, 08:29

SusiQuad

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(b) $\begin{eqnarray*} A= \{\pm1,0\} \end{eqnarray*}$ ...
(c) entspr. Intervalle

Idee: Sorg dafür, dass $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Mengen sind ...

08.05.2012, 11:06

Silvershado

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also wäre für c) die Teilmenge R+0?

wie formt man die Aufgabe a) formal richtig um?

Vielen Dank!

08.05.2012, 16:12

SusiQuad

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(c) $\begin{eqnarray*} |\mathbb R|=\mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup |\mathbb R| =\infty \end{eqnarray*}$ taugt nicht. IMHO muss es etwas beschränktes sein. - Möglichst groß kann ja auch 'viele Elemente' bedeuten und da sind reelle Intervalle genauso groß wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ selber.

(a) $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ sind beide Schranken. Zum Rechnen oder Umformen kann man so argumentieren...

$\begin{eqnarray*} x \leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ wenn M eine obere Schranke ist oder sogar $\begin{eqnarray*} M = \sup(A) \end{eqnarray*}$ ... was passiert, wenn man die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ malnimmt ...

08.05.2012, 19:30

SilverShadow

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Bei c) verstehe ich ehrlich gesagt nicht, warum der Betrag von A und A zur Lösung unterschiedlich sein sollten.
Ich soll ja eine Teilmenge angeben für die b) GILT, also nicht, dass sie nicht gilt.
Setze ich bswp. R+0 ein habe ich sup(R+0=+unendlich) - inf(R+0=0)=sup (+unendlich-0=+unendlich), was die Aussage für R+0 ja verifizieren würde.

a) $\begin{eqnarray*} \forall x \in A: x \leq M /*-1 <-> x \geq M \end{eqnarray*}$ Also $\begin{eqnarray*} supA + sup-A = x\leq M \wedge x\geq M \Rightarrow x=M? \end{eqnarray*}$ ; wobei das komisch klingt

08.05.2012, 20:23

SusiQuad

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(b) gilt, falls $\begin{eqnarray*} A = |A| \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} A= \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ geht das.

Zu (a) ... *komisch*, weil Du Dich verrechnest ... $\begin{eqnarray*} x \leq M \iff -x \geq -M \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 20:38

SilverShadow

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Zitat:

Original von SusiQuad
(b) gilt, falls $\begin{eqnarray*} A = |A| \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} A= \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ geht das.

Zu (a) ... *komisch*, weil Du Dich verrechnest ... $\begin{eqnarray*} x \leq M \iff -x \geq -M \end{eqnarray*}$

Also hast du gedacht, dass man es für den "nicht gilt" Fall zeigen soll?

a) stimmt, hab das -1 links und rechts vergessen..

Kann ich das größer gleich Zeichen jetzt drehen, indem ich das Minus vom M wegnehme (Ich glaube nicht)?

$\begin{eqnarray*} supA + sup(-A) \iff x\leq M \wedge -x \leq M \Rightarrow y:=-x \Rightarrow sup (x-y) \end{eqnarray*}$

Was hast du denn jetzt genau in was umgeformt? Stehengeblieben bin ich ja bei supA+sup(-A)

08.05.2012, 20:50

SusiQuad

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lies: $\begin{eqnarray*} -x \geq -M \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} -M \end{eqnarray*}$ ist untere Schranke von $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ und mit der unteren Schranke kommt $\begin{eqnarray*} inf \end{eqnarray*}$ ins Spiel ...

Anmerkung: Nein. - Ich dachte Du meintest $\begin{eqnarray*} A=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , da läuft das eben nicht (Missverständnis).

08.05.2012, 21:04

SilverShadow

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Und was bringt mir das jetzt? Analog könnte ich ja dann auch sagen M ist untere Schranke von A.
Eigentlich gilt doch:
$\begin{eqnarray*} supA - inf A = x \leq M_1 - x\geq M_2 \end{eqnarray*}$ (Wobei das mit dem Minus etwas blöd wird)
Wobei es ja einfacher wäre einfach zu sagen supA - inf A = supA + sup(-A) um daraus dann sup (x-y) zu folgern.

Bei deiner Formulierung verwirrt mich, dass wenn M=2 eine obere Schranke ist wäre -M=-2 ja nicht zwangsweise untere Schranke? Müsste man da M nicht mit 1 & 2 indizieren (Siehe oben)?

08.05.2012, 21:52

SusiQuad

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Zitat:

wenn M=2 eine obere Schranke ist wäre -M=-2 ja nicht zwangsweise untere Schranke?

wovon ? - Ich sprach von $\begin{eqnarray*} {\color{red}-}A \end{eqnarray*}$ , was auf

$\begin{eqnarray*} sup(A)=-inf(-A) \end{eqnarray*}$ hinausläuft. Wir wollen ja auf Aussagen bzgl.
$\begin{eqnarray*} x~+~(-y) \end{eqnarray*}$ besser: $\begin{eqnarray*} \sup \{x-y ~:~ x,y \in A \} \end{eqnarray*}$ hinaus.

Konkret: $\begin{eqnarray*} x \leq S := sup(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \geq F := inf(A) \end{eqnarray*}$ ergeben
$\begin{eqnarray*} x-y = x + (-y) \leq S-F \implies \sup(x-y) \leq S-F \end{eqnarray*}$ . - Jetzt noch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ...

Und ja, es ist $\begin{eqnarray*} sup(-A)= -\inf(A) \end{eqnarray*}$ ... (s.o.)

08.05.2012, 22:45

SilverShadow

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Könnte ich es dann so machen (also auch formal):
$\begin{eqnarray*} supA - infA \iff supA + sup(-A) \iff x\leq S + y\geq -F \iff x\leq S - y\leq F \iff sup(x-y) \leq S-F \end{eqnarray*}$

?

E: nach mehreren Überarbeitungen hab ich so das Gefühl, dass da der Wurm drin ist verwirrt

Bei der Umformung von Sup(-A)

09.05.2012, 20:48

SilverShadow

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Kleiner Push, weil der Thread so verschwunden ist ;P

10.05.2012, 07:21

SilverShadow

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Habs nochmal durchgerechnet, so sollte es doch eigentlich passen:
$\begin{eqnarray*} supA - infA \leftrightarrow x\leq S \wedge (-x)\geq F \leftrightarrow x\leq S \wedge x\leq (-F) \leftrightarrow x \leq S-F \end{eqnarray*}$

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