pq - Formel Abschätzung

07.05.2012, 11:17	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
pq - Formel Abschätzung Meine Frage: Hallo Leute ich sollte dieFehlerabschätzung (1) herleiten, wie gehe ich denn da vor? $\begin{eqnarray} \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \leq 2 \frac{\|\Delta p\|}{\|x\|} + \frac{\Delta q}{\|x\|\sqrt{q} } \end{eqnarray}$ (1) für die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + 2px - q = 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x = -p + \sqrt{p^2 + q} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß, dass die Auswertung einer Funktion im PC immer an der Stelle $\begin{eqnarray} x + \Delta x \end{eqnarray}$ statt finden muss, weil ich immer einen Rundungsfehler habe, aber das wars auch schon.. Danke für die Hilfe
07.05.2012, 12:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man entwickelt die Funktion, deren Fehler man berechnen will, bis zur 1.Ordnung in einer Taylorreihe und bezeichnet die 1.Ordnung als "absoluten Fehler" $\begin{eqnarray} x(p+\Delta p, q+\Delta q)=x(p, q)+\underbrace{\tfrac{\partial x}{\partial p}\Delta p+\tfrac{\partial x}{\partial q}\Delta q}_{\text{1.Ordnung = absoluter Fehler}}+... \end{eqnarray}$ Wir berechnen die beiden partiellen Ableitungen der Funktion $\begin{eqnarray} x(p,q)=-p+\sqrt{p^2+q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial x}{\partial p}=-1+\tfrac{p}{\sqrt{p^2+q}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial x}{\partial q}=\tfrac{1}{2\sqrt{p^2+q}} \end{eqnarray}$ Einsetzen dieser Ableitungen in die obige Taylorentwicklung liefert den absoluten Fehler $\begin{eqnarray} \underbrace{x(p+\Delta p, q+\Delta q)-x(p,q)}_{\Delta x}=\underbrace{(-1+\tfrac{p}{\sqrt{p^2+q}})\Delta p+(\tfrac{1}{2\sqrt{p^2+q}})\Delta q}_{\text{1.Ordnung = absoluter Fehler}} \end{eqnarray}$ Division durch x liefert den relativen Fehler $\begin{eqnarray} \tfrac{\Delta x}{x}=\tfrac{-1+\tfrac{p}{\sqrt{p^2+q}}}{x}\Delta p+\tfrac{\tfrac{1}{2\sqrt{p^2+q}}}{x}\Delta q \end{eqnarray}$ Versuche, das auf die gewünschte Form zu bringen.

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