Diagonalisierbarkeit notwendige & hinreichende Kriterien

07.05.2012, 11:43

sunnyline

Diagonalisierbarkeit notwendige & hinreichende Kriterien

Meine Frage:
Hallo,

ich habe in 2 Tagen mündliche Staatsexamensprüfung über Lineare Algebra 1 und 2. Eine sehr beliebte Frage bei meinem Prof ist:

Was ist die Diagonalisierbarkeit? Welche Kriterien sind hinreichend und welche notwendig und welche sind hinreichend & notwendig? Wieso sie hinreichend, notwendig, ... sind!

Ich hab schon einige Definitionen und Kriterien rausgeschrieben und auch überlegt, ob sie hinreichend, notwendig, ... sind - bin mir aber nicht sicher. Bei der Begründung hab ich irgendwie kaum Ansatzpunkte ... - es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! smile

Meine Ideen:
1. Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ heißt diagonalisierbar, falls es eine reguläre Matrix S gibt, so dass B=S^-1AS diagonal ist. --> hinreichend & notwendig

2. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar, falls es eine Basis des R^n bestehend aus Eigenvektoren von A gibt. --> hinreichend

3. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ von A gilt:
Geometrische Vielfachheit = Algebraische Vielfachheit --> hinreichend

4. Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. --> hinreichend

5. A ist eine Diagonalmatrix --> hinreichend

07.05.2012, 16:30

DP1996

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Zitat:

Original von sunnyline
1. Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ heißt diagonalisierbar, falls es eine reguläre Matrix S gibt, so dass B=S^-1AS diagonal ist. --> hinreichend & notwendig

Stimmt zwar, aber eigentlich ist das die Definition

Zitat:

Original von sunnyline
2. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar, falls es eine Basis des R^n bestehend aus Eigenvektoren von A gibt. --> hinreichend

und notwendig, vor allem aber äquivalent zu 3.

Zitat:

Original von sunnyline
3. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R (n\times n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ von A gilt:
Geometrische Vielfachheit = Algebraische Vielfachheit --> hinreichend

und notwendig.

Zitat:

Original von sunnyline
4. Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. --> hinreichend

korrekt, insbesondere ist jede reelle symmetrische Matrix sogar orthogonal äquivalent zu einer Diagonalmartix. Der Satz schimpft sich auch Hauptachsentheorem.

Zitat:

Original von sunnyline
5. A ist eine Diagonalmatrix --> hinreichend

und trivial Augenzwinkern

Die Beweise müssten eigentlich in einem guten Vorlesungsskript zu finden sein, und die findet man ja im Internet zur genüge.

07.05.2012, 21:18

sunnyline

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Huhu,

vielen Dank. Die Beweise bzw. Erklärungen haben wir dazu leider nicht im Skript stehen, aber vielleicht find ich ja noch eine andere Quelle ...
Vielleicht werd ich ja auch gar nicht zu diesem Stoff gefragt - das wäre natürlich noch besser Augenzwinkern

LG und Danke

08.05.2012, 13:28

DP1996

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Gern geschehen smile

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