DGL Eindeutigkeit durch Picard Lindelöf

07.05.2012, 14:52	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Eindeutigkeit durch Picard Lindelöf Meine Frage: Hallo, habe folgendes NAWP und verstehe da ganz grundlegend folgendes nicht. Das NAWP lautet: $\begin{eqnarray} y'=y^{1/2}, y(x_{0})=y_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G=\mathbb R \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray}$ Wähle ich nun das Startwertepaar $\begin{eqnarray} (x_{0},y_{0})=(1,1) \end{eqnarray}$ so erhalte ich 2 verschiedene Lösungen.. Es löst zum einen $\begin{eqnarray} y_{1}(x)=\frac{(x+1)^2}{4} \end{eqnarray}$ , aber auch $\begin{eqnarray} y_{2}(x)=\frac{(x-3)^2}{4} \end{eqnarray}$ das geforderte Problem. (Und das sind nun wirklich unterschiedliche Funktionen.. ihr Schnittpunkt ist ja gerade bei $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen:* Wie kann das sein?? Es sind schließlich alle Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt, oder sehe ich da was falsch? Es ist f(x,y)= $\begin{eqnarray} y^{1/2} \end{eqnarray}$ stetig auf ganz $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und doch sogar auch $\begin{eqnarray} lipschitzstetig \end{eqnarray}$ bez. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ außer in $\begin{eqnarray} (x_{0},0) \end{eqnarray}$ Wieso ergeben sich dann an einer lipschitzstetigen Stelle wie $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ also mehrere Lösungen? Bitte sehr um Hilfe, weil ich hier ja was grundlegendes nicht zu verstehen scheine..
07.05.2012, 15:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine zweite Lösung ist gar keine Lösung, denn mit ihr hat $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ , dagegen $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ .
07.05.2012, 15:53	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man... vielen Dank, hab überhaupt nicht auf die Beziehung zur Ableitung geachtet.. Danke!

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