Zahlentheorie: Beweis zu Kongruenzsystem mit nicht teilerfremden moduln

07.05.2012, 15:12	ChilliJilli	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: Beweis zu Kongruenzsystem mit nicht teilerfremden moduln Huhu! Hier die Aufgabe: Das ist gegeben $\begin{eqnarray} Sei\ das\ Kongruenzsystem \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv a\ mod\ m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv b\ mod\ n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mit\ x \in Z\ gegeben\ wobei\ m,n \in Z_\geq1\ und\ a,b \in Z\ gelte.\ <br /> Ferner\ sei\ d = ggT(m,n) = rm sn\ mit\ r,s \in Z\ und\ a \equiv b\ mod\ d. \end{eqnarray}$ Und nun zu zeigen ist Es existiere eine Lösung z des Kongruenzensystems. Man zeige, daß ein $\begin{eqnarray} y \in Z\ \end{eqnarray}$ genau dann das Kongruenzensystem löst, wenn $\begin{eqnarray} y \equiv z\ mod\ \frac{mn}{d} \end{eqnarray}$ gilt. Ich bin grad bei der Richtung: Wenn es so ein y als Lösung gibt, dann ist $\begin{eqnarray} y \equiv z\ mod \frac{mn}{d} \end{eqnarray}$ . Und ich weiß nicht, ob meine Umformungen legitim sind (hier in Kurzform): Da y Lösung folgt: $\begin{eqnarray} y\ \equiv a\ mod\ m\ und\ y\ \equiv b\ mod\ n.\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (yd) \equiv (ad)\ mod\ m<br /> \Rightarrow\ yd = da+t_1\ m <br /> \Rightarrow\ y = a + t_1\ \frac{m}{d} \end{eqnarray}$ bei diesem Schritt weiß ich nicht ob ich das darf...? Dann würde folgen: $\begin{eqnarray} \Rightarrow\ y \equiv a\ mod\ \frac{m}{d}\ und\ dann\ mit\ der\ gleichen\ Methode:\ y \equiv a\ mod\ \frac{mn}{d}\ \end{eqnarray}$ Analog kann man umformen da z auch eine Lösung ist: $\begin{eqnarray} z \equiv a\ mod\ m \Rightarrow\ z \equiv a\ mod\frac{mn}{d} \end{eqnarray}$ und damit würde aus der Transitivität folgen $\begin{eqnarray} y \equiv z\ mod\ \frac{mn}{d} \end{eqnarray*}$ Ich fürchte nur so gehts dann doch nicht ...? Aber wie sonst?

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