stetigkeit, partielle ableitung und totale diffbarkeit

07.05.2012, 16:56

chrlan

stetigkeit, partielle ableitung und totale diffbarkeit

Meine Frage:
Betrachten Sie die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f_1(x,y):=\sqrt[3]{x^3-y^3},\quad f_2(x,y):=\left\{\begin{matrix}\frac{y(x^2+y^2)^{\frac 3 2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} & \text{falls }x^2+y^2\neq 0,\\<br /> 0 & \text{sonst.}\end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

a) Untersuchen Sie f1 und f2 auf Stetigkeit.
b) Bestimmen Sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , in denen die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$ existiert. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ für diese.
c) Bestimmen Sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , in denen die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{eqnarray*}$ existiert. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial y}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ für diese.
d) Wo sind f1 bzw. f2 total differenzierbar?

Meine Ideen:
Die b) und c) hab ich gemacht. Habe folgendes raus:
b)
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^3-y^3)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x}=\frac{3x y\sqrt{x^2+y^2}\cdot ((x^2+y^2)^2+y^2)-y\sqrt{(x^2+y^2)^3}\cdot 4x(x^2+y^2)}{((x^2+y^2)^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}=-\frac{y^2}{\sqrt[3]{(x^3-y^3)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial y}=\frac{\left( \sqrt{(x^2+y^2)^3}+3y^2\sqrt{x^2+y^2}\right )\cdot ((x^2+y^2)^2+y^2)-\sqrt{(x^2+y^2)^3}\cdot (4y^2(x^2+y^2)+2y^2)}{((x^2+y^2)^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Bei der a) wäre nun meine Frage, wie man bei Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit untersucht. Finde nämlich, dass sieht so etwas komisch aus:
$\begin{eqnarray*} |(x,y)-(\phi,\xi)|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(\phi,\xi)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
oder funktioniert das doch so?
Die d hab ich nicht, weil ich das mit der totalen differenzierbarkeit noch nicht so ganz verstanden habe. die kann allerdings erstmal warten. würde nur erstmal gerne wissen ob ich das bis hierhin richtig habe und ob ich das so mit der stetigkeit machen kann. schonmal danke im vorraus Augenzwinkern

08.05.2012, 13:31

chrlan

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner nen vorschlag, bzw ne bestätigung?

09.05.2012, 11:49

chrlan

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hab ich das was ich bisher gemacht hab denn richtig gemacht?

09.05.2012, 14:01

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: stetigkeit, partielle ableitung und totale diffbarkeit

Zitat:

Original von chrlan
Bei der a) wäre nun meine Frage, wie man bei Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit untersucht. Finde nämlich, dass sieht so etwas komisch aus:
$\begin{eqnarray*} |(x,y)-(\phi,\xi)|<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(\phi,\xi)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
oder funktioniert das doch so?

Ja, das kannst du so machen. Dabei kannst du dich auf die kritischen Stellen beschränkungen. Eine Komposition stetiger Funktionen ist nämlich auch stetig, es sei denn, es wird durch eine stetige Funktion geteilt, die 0 werden kann. Diese Stellen mussen man dann z. B. mit obiger Methode prüfen.

b, c) Deine partiellen Ableitungen sehen richtig aus.

Bei f1 existiert die berechnete Ableitung aber nicht überall. Bei f2 gilt deine Rechnung eh nur außerhalb des Punktes (x, y) = (0,0). Im Punkt (0, 0) musst du die partielle Ableitung separat bestimmen.

Zitat:

Die d hab ich nicht, weil ich das mit der totalen differenzierbarkeit noch nicht so ganz verstanden habe. die kann allerdings erstmal warten. würde nur erstmal gerne wissen ob ich das bis hierhin richtig habe und ob ich das so mit der stetigkeit machen kann. schonmal danke im vorraus Augenzwinkern

Bei der totalen Differenzierbarkeitwird man im allgemeinen versuchen, nicht direkt mit der Definition zu arbeiten.
Ein hinreichendes Kriterium für die totale Differenzierbarkeit ist die stetige partielle Differenzierbarkeit. Ein notwendiges Krirerium für die totale Differnzierbarkeit ist die partielle Differenzierbarkeit.

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