Taylorreihe einer echt rationalen Funktion |
| 07.05.2012, 17:15 | Sarabao | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Taylorreihe einer echt rationalen Funktion Hallo, ich bereite mich gerade auf die Analysis 1 Prüfung (für technische Physiker) vor und in der Prüfungssammlung taucht folgende Frage auf, die mir Schwierigkeiten macht. Die Taylorreihe jeder 'echt rationalen' Funktion r(x) (d.h. r(x) kein Polynom) hat unendlich viele Glieder, die von Null verschieden sind. (Gemeint ist die Taylorreihe bezüglich irgendeiner Entwicklungsstelle, die kein Pol von r(x) ist.) Zu entscheiden ist, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Es tauchen mehrere solcher Fragen zu Taylorreihen auf, in denen die nicht verschwindenden Gliedern der Taylorreihe und die Nullstellen der zu approximierenden Funktion in Zusammenhang gesetzt werden . Ich tue mich mit Taylorreihen sehr schwer und weiß leider gar nicht, wie und welcher Zusammenhang da besteht. Wenn mir jemand erklären könnte, wann und warum ein Glied in der Taylorreihe verschwindet, wäre ich sehr, sehr dankbar. Meine Ideen: Meine Vermutung ist folgende, die Aussage ist wahr, da eine Taylorreihe an einer solchen Entwicklungsstelle beliebig fortsetzbar ist. Und dann frage ich mich auch, kann man eine Funktion überhaupt an ihrer Polstelle entwickeln? PS: Bitte keine Schelte, falls ich mich unklar oder unmathematisch ausdrücke. |
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| 07.05.2012, 18:08 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meiner Meinung nach müsste die Funktion an der Entwicklungsstelle beliebig oft differenzierbar sein, und das passt gar nicht mit einer Polstelle zusammen. Zur Unendlichkeit meine ich, dass das in der Regel nur zutrifft, wenn das Restglied den Limes 0 hat. Der Konvergenzradius spielt aber auch noch mit hinein. Technische Physiker machen sich aber in der Regel nicht den Kopf, solange es "funktioniert". Es folgen sicher noch einige posts mit präzisen Aussagen... 
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| 07.05.2012, 18:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hätte die Taylorreihe nur endlich viele Glieder, so wäre ein Polynom. Das soll es ja aber gerade nicht sein. |
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| 07.05.2012, 22:45 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die Resonanz ist noch ein wenig schwach... mal sehen ... 
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| 08.05.2012, 08:09 | Valdas Ivanauskas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo genau liegt denn die Schwäche in der Resonanz? Leopold's Beitrag ist m.E. nichts hinzuzufügen, denn die Kontraposition ist in der Tat offensichtlich. |
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| 09.05.2012, 15:03 | Sarabao | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| taylorreihe einer echt rationalen funktion Hallo, erst einmal vielen Dank für eure Hilfe. Wir haben die Frage nochmals diskutiert und sind zu folgendem Schluß gekommen: eine echt rationale Funktion ist beliebig oft differenzierbar und somit an einer Entwicklungsstelle, die kein Pol der Funktion ist, in eine unendliche Taylorreihe entwickelbar. Die Aussage ist also wahr. Verschwindende Glieder einer Taylorreihe, d.h. verschwindende Koeffizienten bedeuten ja, daß die Ableitung der zu approximierenden Funktion an dieser Stelle verschwindet, die Funktion somit nicht beliebig oft differenzierbar ist. Habe ich das soweit richtig verstanden? Noch eine Frage zum Konvergenzradius, was bedeutet es eigentlich, wenn der Konvergenzradius = 1 ist, wie bei der Entwicklung des natürlichen Logarithmus, und wie hängt dies mit der Singularität bei x=0 zusammen? Fragen über Fragen .... |
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| 09.05.2012, 15:43 | Valdas Ivanauskas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion
Nochmal: Eine Taylorreihe mit endlich vielen Summanden ist ein Polynom. Ist f also kein Polynom, dann hat die Taylorreihe von f auch nicht endlich viele Summanden. Punkt Aus Ende.
Welche Singularität? |
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| 09.05.2012, 16:38 | Sarabao | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion Na, die Singularität des natürlichen Logarithmus bei x =0. Die Taylorreihe von ln(x+1) hat den Konvergenzradius =1 , und das hängt anscheinend mit der Singularität zusammen, aber ich verstehe nicht, wie? |
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| 09.05.2012, 17:01 | Valdas Ivanauskas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion Verabschiede Dich in diesem Zusammenhang mal gedanklich von Singularitäten. Eine Potenzreihe hat keine Singularitäten - wohl aber einen Konvergenzradius, welcher von den Koeffizienten der Potenzreihe abhängt. Bei der Potenzreihe des Logarithmus ist der Konvergenzradius eben 1 wie man leicht nachrechnet. Mittels kann der Logarithmus aber auch außerhalb des Konvergenzintervalls erklärt werden. |
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| 09.05.2012, 17:25 | Sarabao | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion 1. Frage: Was bedeutet der Konvergenzradius genau? Sagt er mir, für welche x die Reihe konvergiert? Das heißt, nur für solche x, welche vom Betrag her kleiner als der Konvergenzradius sind? 2.Frage: Ich zitiere aus meinem Skriptum: Für den Konvergenzradius (der Taylorreihe von ln(1+x), Anm. von mir) erhalten wir R=1, was zu erwarten war, weil ln x eine Singularität bei x=0 hat. Also konvergiert diese Reihe höchstens für IxI < 1 und mittels einer Restgliedabschätztung zeigt man ... Was hat der Konvergenzradius = 1 nun mit der Singularität zu tun? Ich weiß, daß diese Fragen vom ursprünglichen Thema etwas abweichen, aber jemand brachte den Konvergenzradius auf, und den habe ich noch nie so richtig verstanden. |
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| 09.05.2012, 17:35 | Valdas Ivanauskas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion Zu 1. Skript, Wikipedia, einschlägige Lehrbücher, ... guck wo Du magst Zu 2. Der Logarithmus ist an der Stelle 0 nicht definiert und dieser Punkt liegt nicht innerhalb des Konvergenzkreises um den Entwicklungspunkt. Läge dieser Punkt innerhalb des Konvergenzkreises, dann wäre der Log an dieser Stelle eben nicht undefiniert. |
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| 09.05.2012, 17:40 | Sarabao | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: taylorreihe einer echt rationalen funktion Vielen Dank für Deinen Rat. Du hast mir sehr geholfen. |
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