darstellende Matrix

07.05.2012, 17:49	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
darstellende Matrix Meine Frage: Guten Tag, ich habe ein Problem bei folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V = \mathbb C ^{2} \end{eqnarray}$ und sei s eine hermitesche Sesquilinearform auf V. Sei $\begin{eqnarray} q: V -> \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} q(v) = \frac{1}{2}s(v,v) \end{eqnarray}$ . Wie nehmen an, dass für alle $\begin{eqnarray} z_{1}, z_{2} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} q(\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = \|z_{1} \|^{2} + \|z_{2}\|^{2} + i(z_{1}^{} z_{2} - z_{1} z_{2}^{}) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die darstellende Matrix von s bezüglich der geordneten Basis $\begin{eqnarray} \mathbb B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: mein Ansatz ist diese Formel aus der Vorlesung: $\begin{eqnarray} s(v,w) = \frac{1}{2}(q(v+w)-q(v-w)+iq(v+iw)-iq(v-iw)) \end{eqnarray}$ Ich habe also mein $\begin{eqnarray} v := \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w := \begin{pmatrix} 1+i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ meine darstellende Matrix ist ja wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} M_{\mathbb B }(s) = \begin{pmatrix} s(v,v) & s(v,w) \\ s(v,w) & s(w,w) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beim ersten Eintrag komme ich an folgender Stelle nicht weiter: $\begin{eqnarray} s(v,v) = \frac{1}{2}(q(v+w)-qv-w)+iq(v+iw)-iq(v-iw)) = \frac{1}{2}(q\begin{pmatrix} 2 \\ 2i \end{pmatrix}-q\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+iq \begin{pmatrix} 1+i \\ i-1 \end{pmatrix}-iq\begin{pmatrix} 1-i \\ i+1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ ich weiß an dieser Stelle nicht weiter, selbst wenn ich es in die Formel aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray} q(\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = \|z_{1} \|^{2} + \|z_{2}\|^{2} + i(z_{1}^{} z_{2} - z_{1} z_{2}^{}) \end{eqnarray}$ einsetze komme ich auf kein Ergebnis.
07.05.2012, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist das Problem ? Bis dahin sehe ich keinen Rechenfehler. Also: rechne weiter.
07.05.2012, 19:18	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß aber nicht wie ich weiterrechnen soll. Muss ich es jetzt in die Voraussetzung q (z1,z2) = \|z1\|^2 + \|z2\|^2 .... einsetzen? Falls ja wäre es nett mir einen Hinweis zu geben, wie ich mit den konjugierten Zahlen weiterrechne, bswp (1-i)* ...
09.05.2012, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, einsetzen und fleißig rechnen. Ich nehme an, du weißt, wie man komlexe Zahlen addiert und multipliziert. Der Betrag ist der euklidische Abstand zum Nullpunkt, also $\begin{eqnarray} z=a+bi\Rightarrow \|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow \|z\|^2=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ . Die Konjugation spiegelt an der reellen Achse, also gilt $\begin{eqnarray} z=a+bi\Rightarrow \overline z=a-bi \end{eqnarray}$ .

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