Ungleichung Cauchy Schwarz

07.05.2012, 18:01	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Cauchy Schwarz Meine Frage: Hallo, eine Frage zu folgender Aufgabe: Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Sei m < dimV und seien Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1}, ..., v_{m}\in V[\latex]\ {0} paarweise orthogonal.<br /> <br /> Zeigen sie, dass für alle v in V gilt:<br /> <br /> [latex]\sum\limits_{i=1}^m \frac{s(v,v_{i})^{2}}{\|\| v_{i}\|\|^{2}} \leq \|\| v \|\|^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: meine Idee: irgendwie mit Cauchy Schwarz arbeiten $\begin{eqnarray} s(v,w) \leq \|\|v\|\| \|\|w\|\| \end{eqnarray}$ umgeschrieben: $\begin{eqnarray} \frac{s(v,w)}{\|\|w\|\|} \leq \|\|v\|\| \end{eqnarray}$ sieht immerhin schon sehr ähnlich aus, oder geht es anders? Gruß
07.05.2012, 18:06	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
kurzer Nachtrag da ich mich in der Aufgabe vertippt habe und ein Fehler zu sehen ist: ... und seien die Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1}, .... ,v_{m} \end{eqnarray}$ in V ohne 0 paarweise orthogonal. Zeigen sie, dass für alle v in V gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^m \frac{s(v,v_{i})^{2}}{\|\|v_{i}\|\|^{2}} \leq \|\|v\|\|^{2} \end{eqnarray}$
08.05.2012, 09:28	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du auf jeden Summanden Cauchy-Schwarz anwendest, hast du ja als Abschätzung $\begin{eqnarray} m\|\|v\|\|^2 \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|^2 \end{eqnarray}$ Du kannst die Ungleichung erstmal vereinfachen, indem du $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ als normiert annimmst. (wegen $\begin{eqnarray} \frac{s(v,v_i)}{\|\|v_i\|\|}=s(v,\frac{v_i}{\|\|v_i\|\|}) \end{eqnarray}$ ) Dann ist also $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m s(v,v_i)^2\leq \|\|v\|\|^2 \end{eqnarray}$ zu zeigen, wobei die $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ ein Orthonormalsystem bilden. Das ist eine direkte Konsequenz aus dem Satz des Pythagoras, der sagt: Wenn die $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ sogar eine Orthonormalbasis bilden, gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m s(v,v_i)^2 = \|\|v\|\|^2 \end{eqnarray}$ Diesen kannst du wiederum beweisen, indem du $\begin{eqnarray} v=\sum_{i=1}^m s(v,v_i) v_i \end{eqnarray}$ schreibst (eine Darstellung, die du wahrscheinlich kennst, aber auch nicht schwer zu beweisen) und $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|^2=s(x+y,x+y)=s(x,x)+s(y,y)=\|\|y\|\|^2 \end{eqnarray}$ benutzt für Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s(x,y)=0 \end{eqnarray}$
08.05.2012, 09:30	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Berichtigung (verschrieben) : .. $\begin{eqnarray} s(x,x)+s(y,y)=\|\|x\|\|+\|\|y\|\| \end{eqnarray}$
08.05.2012, 09:32	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^2+\|\|y\|\|^2 \end{eqnarray}$ natürlich ^^
08.05.2012, 14:13	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir!
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