Differnzierbarkeit eines beliebigen Skalarprodukts

07.05.2012, 19:21	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Differnzierbarkeit eines beliebigen Skalarprodukts Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} <\cdot,\cdot>: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ ein beliebiges Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb R^n \rightarrow R^n \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung differenzierbar ist. $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^n \rightarrow R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x) := <\phi(x),x> \end{eqnarray}$ Meine Idee war nun $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} f(x+h)-f(x) \end{eqnarray}$ zu untersuchen um eine $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ zu finden mit: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x) - L(h)}{\|\|h\|\|} = 0 \end{eqnarray}$ Daher habe ich angefangen mit: $\begin{eqnarray} f(x+h)-f(x) = <\phi(x+h),x+h> - <\phi(x),x> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = <\phi(x)+\phi(h),x> + <\phi(x)+\phi(h),h> - <\phi(x),x> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = <\phi(x),x> +<\phi(h),x>+ <\phi(x),h> + <\phi(h),h> - <\phi(x),x> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = <\phi(h),x>+ <\phi(x),h> + <\phi(h),h> \end{eqnarray}$ Nun komme ich aber nicht weiter. Wenn ich jetzt den Grenzwert h gegen 0 betrachte erhalte ich ja wegen den Eigenschaften des Skalarprodukts und von linearen Abbilungen den Grenzwert 0. Allerdings kann ich mir das nicht vorstellen. Ich glaube eher, dass ich hier irgendwo einen Denkfehler gemacht habe.
07.05.2012, 20:48	ter	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung steht schon da $\begin{eqnarray} <\phi(h),x>+ <\phi(x),h> \end{eqnarray}$ ist das Differential, jetzt musst du noch zeigen dass $\begin{eqnarray} <\phi(h),h> \end{eqnarray}$ relativ klein ist in h. Gruss ter
07.05.2012, 21:16	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja aus der Definition des Skalarprodukts folgt, dass $\begin{eqnarray} <0,0> = 0 \end{eqnarray}$ und aus den Eigenschaften von linearen Abbildungen folgt $\begin{eqnarray} \phi(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Dann folgt aus der Stetigkeit von linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \phi(x) = \phi(0) = 0 \end{eqnarray}$ Deshalb und wegen der Stetigkeit des Skalarprodukts folgt $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} <\phi(h),h> =\lim_{h \to 0} <\phi(0),0> = <0,0> = 0 \end{eqnarray}$ Damit wäre das geklärt Allerdings verstehe ich noch nicht ganz warum das Differential $\begin{eqnarray} <\phi(h),x> + <\phi(x),h> \end{eqnarray}$ von h abhängen darf? (Hab noch so meine liebe Not mit dem Verständnis von der Differentation Funktionen mehrerer Variablen)
07.05.2012, 22:20	ter	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das Differential hängt auch nicht von h ab, sondern es wird h in das Differential eingesetzt! Eine Funktion ist diff-bar im Punkt $\begin{eqnarray} p\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ falls die Entwicklung $\begin{eqnarray} f(p+h)=f(p) + (Df)_p(h) + R(p,h) \end{eqnarray}$ im Punkt p existiert und R(p,h) relativ klein in h ist und das Differential linear ist. Also schreibe $\begin{eqnarray} f(p+h)=<\phi(x),x> + <\phi(h),x> + <\phi(x),h> + <\phi(h),h> \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} (Df)_p(h) := <\phi(h),x> + <\phi(x),h> \end{eqnarray}$ da das Skalarprodukt linear ist, und $\begin{eqnarray} R(p,h) := <\phi(h),h> \end{eqnarray}$ erhalten wir $\begin{eqnarray} f(p+h)=f(p) + (Df)_p(h) + R(p,h) \end{eqnarray}$ Gruss ter

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