Zwei besondere Zahlen |
| 07.05.2012, 19:53 | Smiley Miley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zwei besondere Zahlen Löse durch systematisches Probieren: Es gibt genau zwei ganze Zahlen, deren Quadrat genauso groß ist wie das Neunfache der Zahlen vermindert um 14. 1. Welche Zahlen sind es und wie kommt man drauf ? 2. Warum ist hier daas Probieren ein allgemeingültiger Beweis ? Meine Ideen: Also ich hab verstanden, dass es 2 Zahlen gibt deren quadrat genauso groß ist wie das Neunfache der Zahlen vermindert um 14, aber wie kommt man darauf ? Ich hab mal i-wie eine Formel aufgeschrieben : x²=xhoch9-14 |
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| 07.05.2012, 21:02 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zwei besondere Zahlen Hallo Smiley, Deine Formel stimmt nicht ganz: Es sind 2 Zahlen, z.B. a und b. Das 9-fache ist nicht hoch9, sondern mal 9. Probier noch einmal die Formel aufzustellen ... 
LG Mathe-Maus 
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| 07.05.2012, 21:08 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zwei besondere Zahlen
Warum ist das ein Fehler? Abgesehen von dem anderen Fehler ist das mit dem (einzelnen) 'x' völlig in Ordnung. Allerdings soll man hier, warum auch immer, nicht rechnen, sondern probieren. air |
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| 07.05.2012, 21:21 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zwei besondere Zahlen @Airblader: Der Ansatz sollte meiner Meinung nach mit 2 Variablen erfolgen, so ist jedenfalls die Aufgabenstellung formuliert ... Im zweiten Schritt substituiert man idealerweise z=a+b. Eine Lösung: Die beiden Grafen zeichnen und den x-Wert des Schnittpunktes (ist dann Variable a oder b) in die Ursprungslösung einsetzen ... Andere Lösung: pq-Formel. Okay, hat nichts mit probieren zu tun, sondern mit graphisch/mathematisch lösen. LG Mathe-Maus
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| 07.05.2012, 21:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss zugeben, dass ich nicht ganz verstehe, wie du die Aufgabe lösen würdest. In jedem Falle widerspreche ich aber: Da steht "systematisches Probieren" und das heißt, dass hier nicht mit Variablen gearbeitet werden soll .. meiner Meinung nach.
air |
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| 07.05.2012, 21:30 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, Du hast Recht, da steht "probieren" 
Variante 1: 30 min probieren. Variante 2: In 3min mathematisch/graphisch lösen. Viele Wege führen nach Rom.
LG Mathe-Maus |
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| 07.05.2012, 21:36 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie schnell du eine Aufgabe löst, ist aber irrelevant, wenn du sie falsch löst. Ich bin ja auch kein Freund davon, den Weg zu diktieren, aber die Aufgabe ist es nunmal, das Ganze über Ausprobieren hinzubekommen. Es per Rechnung zu lösen erfüllt schlicht nicht die Aufgabenstellung. air |
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| 07.05.2012, 21:55 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Airblader: Jepp, Du hast genauer hingeschaut, probieren ist hier zwingend vorgegeben ... wahrscheinlich sollen hier auch die Quadratzahlen in den Vordergrung gerückt werden ... da hab ich´s mir zu einfach gemacht ... LG Mathe-Maus |
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| 08.05.2012, 07:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin, wie es die Aufgabe verlangt, vorgegangen und hatte die Lösung nach 3,4 Sekunden. Mit 1 hat es nämlich nicht geklappt und mit 2 war ich erfolgreich. (Gut, die zweite Lösung hatte ich so noch nicht bekommen.) Auch sehe ich die Aufgabenstellung nicht so kritisch. Denn das systematische Probieren ist ein gängiges heuristisches Verfahren, das wohl jeder Mathematiker schon tausendmal angewandt hat, ohne es zuzugeben. Natürlich ist systematisches Probieren in der Regel noch kein Beweis. Aber genau das soll ja hier erörtert werden: Unter welchen Umständen kann systematisches Probieren als Beweis gelten? Die Aufgabe ist also eher als Reflektieren über Beweismethoden aufzufassen, als daß die Lösung dieses läppischen Problems selber von Interesse wäre. Und jetzt sollte man endlich an die eigentliche Aufgabe gehen: Wer garantiert einem, daß man, wenn man die zwei Zahlen gefunden hat, fertig ist? Ehrlich gesagt, ein schnelles und einfaches Argument, das nicht doch im Hintergrund auf Kenntnisse über quadratische Gleichungen zurückgreift, fällt mir im Moment nicht ein. Aber vielleicht geht es ja gerade darum, sich die Lösungsstruktur einer quadratischen Gleichung noch einmal klarzumachen. Oder weiß wer etwas Besseres? |
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| 08.05.2012, 08:12 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, das "systematische Probieren" kann meiner Meinung nach nur darin bestehen, dass man zunächst einmal davon ausgeht, dass es rationale Lösungen gibt, wobei diese hier dann sogar ganz sein müssen (da das quadratische Polynom normiert ist!) und positiver Teiler von 14 (positiv deshalb, da sonst die rechte Seite der Gleichung im Gegensatz zur linken negativ ist!)... Damit hatte ich dann die Lösungen in 2,3 Sekunden (nur um Leopolds Zeit zu unterbieten!
)... Und ja, es kann nicht mehr als 2 Lösungen geben für ein Polynom vom Grad 2...Edit: Wenn man übrigens für einen positiven Teiler von 14 herausgefunden hat, dass er Lösung der Gleichung ist, so muss dann dessen Komplementärteiler automatisch auch Lösung sein, ohne dass man dies noch extra nachrechnen muss... |
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| 08.05.2012, 08:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist die Frage ob dieses Wissen schon vorhanden ist, wenn die Aufgabe erstmal durch probieren gelöst werden soll.
Allerdings würde mir auch keine andere Begründung einfallen, höchstens noch eine anschauliche Begründung (jedoch kein exakter Beweis), dass die Differenz der beiden Seiten immer größer wird, wenn man sich von den gefundenen Lösungen entfernt. |
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| 08.05.2012, 08:49 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Speziell dieser Punkt scheint mir noch das geringste Problem hier zu sein... Immerhin hat der Schüler ja bei der Herleitung der "Mitternachtsformel" bzw. pq-Formel mittels quadratischer Ergänzung gesehen, dass es höchstens 2 Lösungen gibt... |
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| 08.05.2012, 08:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, wenn dieses Wissen vorhanden ist. Es kann ja durchaus sein, dass diese Aufgabe als weiterführende und vorausschauende Aufgabe aus einem Schulbuch der 7ten Klasse stammt, wo weder quadratische Gleichungen noch Lösungsformeln bekannt sind. Natürlich hast du Recht, dass man mit der Herleitung der pq-Formel dieses Problem direkt lösen kann, alternativ kann man ja auch auf die Gleichung selbst die quadratischer Ergänzung loslassen, aber ohne Kenntnis über den Wissensstand von Smiley Miley ist die Frage nur schwer zu beantworten.
Leider scheint sie sich aber auch für ihre Frage nicht mehr zu interessieren, daher werden wir wohl weiter im Dunkeln tappen müssen. 
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| 08.05.2012, 09:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wissen über quadratische Gleichungen ist für die Aufgabe nicht erforderlich. Es ist und für Also ist für Die Lösungsmenge ist also durch x = 8 nach oben beschränkt. Außerdem ist . Daraus folgt , also Damit ist es nur notwendig, die ganzen Zahlenn zwischen 2 und 8 einschließlich zu testen. |
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| 08.05.2012, 10:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Abgesehen von obigem kleinen Schreibfehler, stellt sich auch die Frage, ob man da - und zwar durchaus auf Schulniveau - jetzt wirklich so viel an "Wissen" voraussetzt, wenn man sagt, dass ganzzahlige Lösungen Teiler des konstanten Gliedes sein müssen? |
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| 08.05.2012, 10:42 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich nirgends vorausgesetzt. |
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| 08.05.2012, 11:43 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aber ich... Und da dein vorheriges Posting mit den Worten beginnt
war eben meine Frage, ob diese von mir gemachte Voraussetzung (ein Spezialfall des Satzes von Vieta, der in jedem Schulbuch steht) schon über das hinausgeht, was man an "Wissen" hier voraussetzen darf... 
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| 08.05.2012, 11:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Huggys Argumentation zeigt, wie man alle Lösungen ohne spezielle Kenntnisse über quadratische Gleichungen bekommen kann. Ein Schüler der Mittelstufe wird aber Schwierigkeiten haben, mit Ungleichungen und Abschätzungen zu argumentieren. Ich will deshalb einmal Huggys Argumentation auf das Niveau eines durchschnittlichen Schülers herunterbrechen. Wenn er negative Zahlen probiert (Zahl immer als "ganze Zahl" verstanden), wird er feststellen: Das klappt ja nie, denn 9x-14 fällt immer negativ und x² immer positiv aus. Also scheiden die negativen Zahlen aus. Wenn er die Zahlen bis 7 durchprobiert, findet er die zwei Lösungen 2 und 7. Mißtrauisch, ob es nicht noch weitere Lösungen gibt, rechnet er 7² = 9·7 - 14 richtig 8² = 9·8 - 14 falsch 9² = 9·9 - 14 falsch 10² = 9·10 - 14 falsch 11² = 9·11 - 14 falsch Und dann fällt ihm vielleicht auf, daß das nie mehr funktioniert, weil ja 11·11 schon größer als 9·11 ist, ein Umstand, der sich durch das Subtrahieren von 14 nur noch verstärkt. Und bei 12·12 und 9·12 ist das genau so, und bei allen größeren Zahlen erst recht. Einmal angenommen, es wäre so, dann hätte dieser Schüler doch Huggys Lösung gefunden, ohne allerdings über die Sprachmittel zu verfügen, sie prägnant ("mathematisch", wie der Volksmund sagt) zu formulieren. |
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| 08.05.2012, 12:01 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist schon richtig, und ich sehe ein, dass ich bisher selbst auf einer "zu hohen Ebene" argumentiert habe... Es geht ja ganz ohne quadratische Gleichungen, Satz von Vieta oder ähnlichem, indem man einfach die Gleichung umformt zu Man kann dann von vorneherein auf einer viel niedrigeren Ebene argumentieren, nämlich nur mit dem Begriff der Teilbarkeit... |
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| 08.05.2012, 16:43 | Smiley Miley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ich mich für die Frage nicht mehr interessiere ist falsch, ich muss nur noch nebenbei zur Schule gehen -.- ich bin in der 8ten Klasse Gymnasium. Die Aufgabe ist auch aus meinem Mathebuch, nur handelt es sich nicht um eine Hausaufgabe!!! Ich hab versucht eine neue Formel aufzuschreiben, ich weiß das man zwar ausproberen soll aber ich will beides machen damit ich das besser verstehe Formel: x+y=9xy-14 ich hoffe dieses mal ist es richtig :S Danke nebenbei 
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| 08.05.2012, 20:34 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann nehme ich die Aussage zurück, das waren ein paar schlechte Erfahrungen die aus mir gesprochen haben. 
Den Ansatz mit den zwei Variablen solltest du sein lassen, es geht hier nicht um eine Gleichung mit zwei Variablen, sondern um eine Gleichung mit zwei Lösungen, d.h. die Gleichung enthält selber nur eine Variable. Wenn du nicht ausprobieren willst, könntest du die (korrekte) Gleichung umstellen und mit der quadratischen Ergänzung bearbeiten, das würde rechnerisch auf die zwei möglichen Lösungen führen. |
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| 08.05.2012, 23:55 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Iorek: Ja, Du hast recht, eine Variable ist richtiger ! Das Augenmerk muss auf 2 Lösungen liegen. Zur Lösung stehen einem dann verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung, z.B. a) quadratische Ergänzung, b) pq-Formel, c) grafische Lösung ... Eine kleine Ansatzhilfe für Smiley: LG Mathe-Maus
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