Mengenalgebra, Hasse Diagram, Gesetze zeigen

08.05.2012, 03:42	Cheffe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenalgebra, Hasse Diagram, Gesetze zeigen Meine Frage: Liebe Mathe-Community, in den Prüfungsvorbereitungen stecke ich gerade bei einer Aufgabe die folgendermaßen lautet: Gegeben ist die Menge: $\begin{eqnarray} \left\{ 3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ . P(M) ist die Potenzmenge der Menge M. (P(M); $\begin{eqnarray} \cup ; \cap; ^{c}) \end{eqnarray}$ ist ein Boolscher Verband. a) Wie lauten die Null und Einselemente der Operationen $\begin{eqnarray} \cup und \cap \end{eqnarray}$ ? b) Geben Sie in einer Tabelle alle Inverse zu jedem Element bezuglich $\begin{eqnarray} \cup und \cap \end{eqnarray}$ . c) Geben Sie zu $\begin{eqnarray} \cup und \cap \end{eqnarray}$ die Distributivgesetze an. d) Deniert $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ eine Halbordnung? Wenn ja, zeichnen Sie das zugehorige Hasse-Diagramm. Meine Ideen: Meine Lösung schaut im Moment folgendermaßen aus: a) A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ {} = A , A $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ P(M). A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P(M) = A , A $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ P(M). b) A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ( B $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C) = ( A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ B) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ ( A $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ C) A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ ( B $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ C) = ( A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B) $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ( A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C) c) Inverses Element: $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ : A $\begin{eqnarray} \cup A^{c} \end{eqnarray}$ = P(M). $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ : A $\begin{eqnarray} \cap A^{c} \end{eqnarray}$ = {}. Tabelle hab ich nicht. =/ d) Für d habe ich eine relation R={(u,v)\| u,v aus P(M) , u $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ v} und danach hab ich geordnete paare nach folgendem schema gebildet: ( {} , {}) , ( {} , {3}) , ( {} , {5}) , ( {} , {7}) , ( {3} , {3}) , ( {3} , {3,5}) , ( {3} , {3,7}) , ( {3} , {3,5,7}) , ( {} , {3,5}) , ( {} , {3,7}) , ( {} , {5,7}) , ( {} , {3,5,7}) , ( {5} , {5}) , ( {5} , {3,5}) , ( {5} , {5,7}) , ( {5} , {3,5,7}) , ( {7} , {7}) , ( {7} , {3,7}) , ( {7} , {5,7}) , ( {7} , {3,5,7}) und nach diesem Schema zeichne ich dann das HasseDiagram?
08.05.2012, 04:48	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenalgebra, Hasse Diagram, Gesetze zeigen $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ ist einen Menge von Mengen. Also ergibt $\begin{eqnarray} A \cap P(M) \end{eqnarray}$ keinen Sinn. Schreibe $\begin{eqnarray} A {\color{blue}\subseteq} M \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A {\color{blue}\in} P(M) \end{eqnarray}$ (a) neutrales Element bzgl. $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ sollte also $\begin{eqnarray} M=\{ 3,5,7\} \end{eqnarray}$ sein. (b/c) Inverse Elemente ... Suche $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \cap B = M \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A \cup B = \o \end{eqnarray}$ Haben die das alle ? ...
08.05.2012, 05:01	s2pwx8	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Rückmeldung... bin grad aber noch verwirrter als vorher. Im Skript steht nämlich: (V $\begin{eqnarray} \cup, \cap, ^{c} \end{eqnarray}$ ) mit Einselement: A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ V = A. kann ich das nicht äquivalent auf P(M) anwenden?
08.05.2012, 05:53	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ enthält $\begin{eqnarray} 2^3 \end{eqnarray}$ Elemente, die dann (Teil-)mengen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sind. Und diese Elemente gilt es zu verknüpfen. $\begin{eqnarray} \o \in P(M) \end{eqnarray}$ ist ein Element und neutral bzgl. $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} M \in P(M) \end{eqnarray}$ ist ein Element und neutral bzgl. $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ ist KEIN Element ... Daher für Inverse $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ , kurz: $\begin{eqnarray} B \in P(M) \end{eqnarray}$ Suche $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \cap B = M \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A \cup B = \o \end{eqnarray}$ Für dieses obige $\begin{eqnarray} \o \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \{ \o \} \subset P(M) \end{eqnarray}$ . Dies ist eine Teilmenge der Pot.Menge und enthält EIN Element, nämlich $\begin{eqnarray} \o \end{eqnarray}$ . Natürlich gibt es auch ein $\begin{eqnarray} \{ \, \} \subset P(M) \end{eqnarray}$ . Ich schreibe diese leere Menge anders als $\begin{eqnarray} \o \end{eqnarray}$ , weil wir auf 2 verschiedenen (Cantor-)Ebenen sind... Element / Menge bzw. Menge / System ...

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