Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke

08.05.2012, 11:30

Hilfloser4

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Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke

Meine Frage:
Zeigen Sie vermöge vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ gilt:

a) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{6}n \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}n^{3} \end{eqnarray*}$ ist eine natürliche Zahl
b) $\begin{eqnarray*} b_{n}=6^{n}+5n+4 \end{eqnarray*}$ ist durch 5 teilbar
c) $\begin{eqnarray*} c_{n}=3^{2^{n}}-1 \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar

Meine Ideen:
Hey,

also ich hab schon mit Induktion gearbeitet und die für die a) auch schon einmal zeigen müssen, dass die Koeffizienten so gelten wie in der Aufgabe eben. Nur muss ich gestehen habe ich noch nie zeigen müssen mittels Induktion, dass etwas durch etwas teilbar ist. Ich wäre um jede Hilfe dankbar. Geht um Ansätze.
Gruß

08.05.2012, 12:14

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Wo ist das Problem? Du mußt doch einfach nur das Induktionsverfahren anwenden.

Fang mal mit Aufgabe b an. Was ist der 1. Schritt?

08.05.2012, 13:02

Hilfloser4

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
schritt 1 wäre der induktionsanfang, sprich: für n = 1 gilt:

$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ = 6+5+4 = 15 ist durch 5 teilbar

schritt 2 induktionsvoraussetzung: behauptung gelte für ein festes n, d.h. wir müssen zeigen, dass die behauptung auch für n+1 gilt:

schritt 3 induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=6^{n+1}+5(n+1)+4 \end{eqnarray*}$

stimmt schritt 3?

08.05.2012, 13:07

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke

Zitat:

Original von Hilfloser4
schritt 3 induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=6^{n+1}+5(n+1)+4 \end{eqnarray*}$

stimmt schritt 3?

Nun ja, das ist äußerst unvollständig. Du hast ja nur hingeschrieben (was allerdings sehr gut ist), was $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Du mußt jetzt aber auch beweisen, daß dieses $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ auch durch 5 teilbar ist. Das ist ja schließlich die eigentliche Behauptung. Dabei darfst du verwenden, daß b_n durch 5 teilbar ist.

08.05.2012, 13:10

Hilfloser4

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
wie ziehe ich die ausdrücke auseinander dass ich $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ erhalte, weil ich komm nur auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} 6^{n}*6+5n+5+4 \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 13:15

Hilfloser4

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
öhm ich merk grad dass das so lauten muss: ( sry kanns nit mehr ändern )

$\begin{eqnarray*} b_{n}=6^{n}-5n+4 \end{eqnarray*}$ aber das macht momentan keinen unterscheid weil dann das da steht:

$\begin{eqnarray*} 6^{n}*6-5n-5+4 \end{eqnarray*}$

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08.05.2012, 13:24

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Da muß man mal kreativ umformen:

$\begin{eqnarray*} 6^n \cdot 6 - 5n - 5 + 4 = (6^n \cdot 6 - 30n + 24) + 25n - 25 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du aus der Klammer eine 6 ausklammern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2012, 13:28

Hilfloser4

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
frage: musst du die -5 nach der klammer nicht streichen? weil wenn du 24 in die klammer reinziehst und 25 draußenhast komm ich auf -1 und das ist ja die summe von -5 un 4 aber dann ist doch die -5 zuviel oder seh ich was nicht?

Danke dir trotzdem das hat sehr geholfen.

ok sry hab zu spät gesehen dass dus editiert hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2012, 13:32

Hilfloser4

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RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
ok andere frage wegen der a) muss ich da im prinzip nen ausdruck stehen haben zum schluss der form m*k wobei k Element N sein muss?

und wie arbeite ich bei der c) ?

08.05.2012, 13:35

Bjoern1982

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Etwas weniger kreativ geht es übrigens auch wenn man sich einfach ganz stupide überlegt was man denn machte müsste damit aus $\begin{eqnarray*} 6 \cdot 6^n \end{eqnarray*}$ denn nun $\begin{eqnarray*} 6^n \end{eqnarray*}$ bekommen kann.
Naja und da hat man ja nur die Möglichkeit einmal $\begin{eqnarray*} 5 \cdot 6^n \end{eqnarray*}$ abzuziehen und direkt wieder zu addieren.
Damit hat man dann auch direkt schon den Faktor 5 dabei.

08.05.2012, 13:38

Hilfloser4

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sehr gute 2te möglichkeit stimmt das hab ich nit gesehen ^^

also wisst ihr vlt mehr zu c) und ist mein "ansatz" für a) richtig?

08.05.2012, 13:43

klarsoweit

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a) geht im Prinzip analog zu b). Fang einfach mal an.

Und bei c) würde ich auch einfach mal anfangen.

08.05.2012, 13:48

Hilfloser4

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ok bei c) hab ich folgendes:

IA: gilt
IV: beh. gelte für ein festes n, zz.: beh gelte auch für n+1
IS:
$\begin{eqnarray*} c_{n+1}=3^{2^{n+1}}-1 = 3^{2^{n}*2}-1 = 3^{2^{n}}*3^{2{n}}-1 \end{eqnarray*}$

kann man da genauso ergänzen wie bei b)?

08.05.2012, 13:57

klarsoweit

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Nun ja, ich würde eher auf $\begin{eqnarray*} 3^{2^{n}} \cdot 3^{2^{n}} - 1 \end{eqnarray*}$ kreativ die 3. binomische Formel anwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2012, 17:13

Hilfloser4

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ok hab ich gemacht nur was sagt der Teil aus, in dem dann das "+" steht? das wäre ja:

$\begin{eqnarray*} (3^{2^{n}}+1)*(3^{2^{n}}-1) \end{eqnarray*}$

das +1 scheint ja schonmal irgendwie gut zu sein, um weiterrechnen zu können

08.05.2012, 18:35

Mulder

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Jetzt ist es nur noch hingucken.

Zeigen willst du, dass das ganze Gemüse jetzt durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Du weißt bereits (nach IA), dass $\begin{eqnarray*} (3^{2^n}-1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} (3^{2^n}+1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, bist du doch fertig (warum?). Ist das der Fall?

08.05.2012, 19:25

Hilfloser4

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ich vermute weil $\begin{eqnarray*} 3^{2^{n}} \end{eqnarray*}$ immer eine ungerade Zahl ist und plus 1 zu einer geraden Zahl wird, daher ist es durch 2 teilbar, nur wieso durch 2 ? ist das im endeffekt "dasselbe" wie $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ ?? weil das doch auch größer wird ( aber immer eine gerade Zahl bleibt )

08.05.2012, 19:50

Mulder

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Du hast das Produkt $\begin{eqnarray*} (3^{2^n}-1) \cdot (3^{2^n}+1) \end{eqnarray*}$ vorliegen. Wenn einer der Faktoren durch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar ist und der andere durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , dann ist das Produkt eben durch $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^{n+1} = 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ teilbar - das sollte eigentlich klar sein.

08.05.2012, 20:00

Hilfloser4

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oh stimmt sry das hatte ich nicht bedacht...heißt das ich bin eigentich nach anwendung der binomischen formel schon fertig? muss ich das dann noch aufschreiben oder gibts auch formalia zu das aufzuschreiben außer in worten?

08.05.2012, 20:51

Mulder

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Ich weiß grad nicht genau, was du mit "formalia" meinst. Es ist doch nicht verboten, auch mal ein paar Worte zu schreiben. Hauptsache, du hast eine schlüssige Argumentation.

09.05.2012, 08:14

Hilfloser4

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okay, dachte man könne das noch "mathematisch sauber aufschreiben" wie unser prof immer meint ^^

aber wenns worte tun gut hab nix dagegen Big Laugh

Big Laugh

09.05.2012, 08:20

klarsoweit

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Das geht natürlich auch. Beispielsweise:

Da $\begin{eqnarray*} 3^{2^n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist, gibt es zu jedem n eine natürliche Zahl m, so daß $\begin{eqnarray*} 3^{2^n}+1 = 2 \cdot m \end{eqnarray*}$ ist.

09.05.2012, 08:28

Hilfloser4

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frage zur a) :

würde ich beim IA mit n = 0 oder 1 anfangen? weil 0 ja eigentlich auch zu den natürlichen zahlen gehört ( bzw je nach dem ob man N mit oder ohne 0 definiert )

09.05.2012, 08:33

klarsoweit

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Das kannst du halten, wie du Kleingeld hast. Wenn du möchtest, daß die Aussage auch für n=0 gilt, mußt du den IA mit n=0 machen.

09.05.2012, 08:56

Hilfloser4

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also bei der a) bin ich jetzt so vorgegangen:
IA für n = 1 kein problem
IV ( schenken wir uns jetz is klar )
IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{n+1}{6}+\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{(n+1)^{3}}{3} \end{eqnarray*}$

so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{n}{6}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{3}+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

der vordere ausdruck ist ja $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und beim hinteren ausdruck weiß ich nit so ganz ob ich richtig rauskomm, weil ich aufm blatt stehen hab, dass :

Eine natürliche Zahl n ist durch eine natürliche Zahl m teilbar, wenn ein $\begin{eqnarray*} k \in N \end{eqnarray*}$
existiert mit m · k = n.

hab ich wsa falsch gemacht?

09.05.2012, 09:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hilfloser4
so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{n}{6}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{3}+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich falsch, wie du auch leicht für n=1 überprüfen kannst.

EDIT: das ist Quatsch. Einfach ignorieren. Hammer

Hammer

09.05.2012, 09:07

Hilfloser4

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hmmm dacht ich mir fast, wie muss ich denn dann anfangen? bzw. war der anfang überhaupt richtig? also die summen auseinanderziehen? wohl eher nicht oder?

09.05.2012, 09:21

klarsoweit

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Ich würde mal die Klammerausdrücke in den Zählern auflösen.

09.05.2012, 09:26

Hilfloser4

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hab ich das nicht gemacht indem ich in der gleichung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{n+1}{6}+\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{(n+1)^{3}}{3} \end{eqnarray*}$
einfach die sachen ausmultipliziert ( bzw. binomische formeln angewandt habe? oder was is mit klammern auflösen gemeint?

weil so komm ich auf das was ich dann weitergeschrieben hatte

09.05.2012, 09:56

Valdas Ivanauskas

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Also wenn's unbedingt per Induktion sein soll (zumindest a und b lassen sich auch ganz einfach direkt beweisen), dann forme zunächst mal etwas um:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac n6+\frac{n^2}2+\frac{n^3}3=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. \end{eqnarray*}$

Und wenn Du darauf basierend mal $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ untersuchst, dann wirst Du feststellen, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+(n+1)^2. \end{eqnarray*}$

Damit sollte der Induktionsschritt dann machbar sein.

Die elementaren Rechenregeln für Potenzen, Brüche, etc. musst Du allerdings sicher beherrschen - sonst wird das nix.

09.05.2012, 10:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hilfloser4
so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{n}{6}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{3}+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Sorry für meinen vorigen Beitrag. Das ist natürlich richtig. (Weiß nicht, was ich mir gedacht hatte. Hammer

Hammer

)

Zitat:

Original von Hilfloser4
Eine natürliche Zahl n ist durch eine natürliche Zahl m teilbar, wenn ein $\begin{eqnarray*} k \in N \end{eqnarray*}$
existiert mit m · k = n.

hab ich wsa falsch gemacht?

Es geht ja jetzt nicht um Teilbarkeit, sondern darum, daß a_n eine natürliche Zahl ist. Und offensichtlich ist dann auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl, da man ja zu a_n "nur" eine natürliche Zahl addiert.

09.05.2012, 10:30

Hilfloser4

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das heißt ich bin fertig? smile

smile

09.05.2012, 10:31

klarsoweit

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Ja, mit einer entsprechenden Erläuterung bzw. Begründung. smile

smile

09.05.2012, 10:53

Hilfloser4

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ok danke dir

09.05.2012, 15:49

Hilfloser4

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ich hab noch eine frage, die das nur peripher betrifft: ich habe eine aufgabe und mir dazu eine beweiskette angeschaut:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

jetzt geht es nur um den Induktionsschritt! in dem wurde nämlich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} (2-\frac{1}{n})*(\frac{1}{(n+1)^{2}}) \end{eqnarray*}$

nur wieso?? wieso mal, wir haben doch ein Summenzeichen das heißt das müsste addiert werden oder seh ich was nicht?

gruß

09.05.2012, 15:54

klarsoweit

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Da hast du recht. Vielleicht wurde einfach nur falsch abgeschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.05.2012, 15:57

Hilfloser4

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das problem ist nur, dass ich das so verstehe wie er das macht und es kommt ja auch das richtige raus durch abschätzungen aber wie mach ich das bei der summe, weil ich hab komische ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$ ....hast du da ne idee? weiß nur nit halt wie ich dann abschätzen soll

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