Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke

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Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Meine Frage:
Zeigen Sie vermöge vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

a) ++ ist eine natürliche Zahl
b) ist durch 5 teilbar
c) ist durch teilbar


Meine Ideen:
Hey,

also ich hab schon mit Induktion gearbeitet und die für die a) auch schon einmal zeigen müssen, dass die Koeffizienten so gelten wie in der Aufgabe eben. Nur muss ich gestehen habe ich noch nie zeigen müssen mittels Induktion, dass etwas durch etwas teilbar ist. Ich wäre um jede Hilfe dankbar. Geht um Ansätze.
Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Wo ist das Problem? Du mußt doch einfach nur das Induktionsverfahren anwenden.

Fang mal mit Aufgabe b an. Was ist der 1. Schritt?
 
 
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
schritt 1 wäre der induktionsanfang, sprich: für n = 1 gilt:

= 6+5+4 = 15 ist durch 5 teilbar

schritt 2 induktionsvoraussetzung: behauptung gelte für ein festes n, d.h. wir müssen zeigen, dass die behauptung auch für n+1 gilt:

schritt 3 induktionsschritt:

stimmt schritt 3?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Zitat:
Original von Hilfloser4
schritt 3 induktionsschritt:

stimmt schritt 3?

Nun ja, das ist äußerst unvollständig. Du hast ja nur hingeschrieben (was allerdings sehr gut ist), was ist. Du mußt jetzt aber auch beweisen, daß dieses auch durch 5 teilbar ist. Das ist ja schließlich die eigentliche Behauptung. Dabei darfst du verwenden, daß b_n durch 5 teilbar ist.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
wie ziehe ich die ausdrücke auseinander dass ich erhalte, weil ich komm nur auf folgendes:

Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
öhm ich merk grad dass das so lauten muss: ( sry kanns nit mehr ändern )

aber das macht momentan keinen unterscheid weil dann das da steht:


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
Da muß man mal kreativ umformen:



Jetzt kannst du aus der Klammer eine 6 ausklammern. Augenzwinkern
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
frage: musst du die -5 nach der klammer nicht streichen? weil wenn du 24 in die klammer reinziehst und 25 draußenhast komm ich auf -1 und das ist ja die summe von -5 un 4 aber dann ist doch die -5 zuviel oder seh ich was nicht?

Danke dir trotzdem das hat sehr geholfen.

ok sry hab zu spät gesehen dass dus editiert hast Augenzwinkern
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Teilbarkeit bestimmter Ausdrücke
ok andere frage wegen der a) muss ich da im prinzip nen ausdruck stehen haben zum schluss der form m*k wobei k Element N sein muss?

und wie arbeite ich bei der c) ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas weniger kreativ geht es übrigens auch wenn man sich einfach ganz stupide überlegt was man denn machte müsste damit aus denn nun bekommen kann.
Naja und da hat man ja nur die Möglichkeit einmal abzuziehen und direkt wieder zu addieren.
Damit hat man dann auch direkt schon den Faktor 5 dabei.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

sehr gute 2te möglichkeit stimmt das hab ich nit gesehen ^^

also wisst ihr vlt mehr zu c) und ist mein "ansatz" für a) richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

a) geht im Prinzip analog zu b). Fang einfach mal an.

Und bei c) würde ich auch einfach mal anfangen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ok bei c) hab ich folgendes:

IA: gilt
IV: beh. gelte für ein festes n, zz.: beh gelte auch für n+1
IS:


kann man da genauso ergänzen wie bei b)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, ich würde eher auf kreativ die 3. binomische Formel anwenden. Augenzwinkern
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab ich gemacht nur was sagt der Teil aus, in dem dann das "+" steht? das wäre ja:



das +1 scheint ja schonmal irgendwie gut zu sein, um weiterrechnen zu können
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es nur noch hingucken.

Zeigen willst du, dass das ganze Gemüse jetzt durch teilbar ist.

Du weißt bereits (nach IA), dass durch teilbar ist.

Wenn nun durch teilbar ist, bist du doch fertig (warum?). Ist das der Fall?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ich vermute weil immer eine ungerade Zahl ist und plus 1 zu einer geraden Zahl wird, daher ist es durch 2 teilbar, nur wieso durch 2 ? ist das im endeffekt "dasselbe" wie ?? weil das doch auch größer wird ( aber immer eine gerade Zahl bleibt )
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Produkt vorliegen. Wenn einer der Faktoren durch teilbar ist und der andere durch , dann ist das Produkt eben durch teilbar - das sollte eigentlich klar sein.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt sry das hatte ich nicht bedacht...heißt das ich bin eigentich nach anwendung der binomischen formel schon fertig? muss ich das dann noch aufschreiben oder gibts auch formalia zu das aufzuschreiben außer in worten?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß grad nicht genau, was du mit "formalia" meinst. Es ist doch nicht verboten, auch mal ein paar Worte zu schreiben. Hauptsache, du hast eine schlüssige Argumentation.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dachte man könne das noch "mathematisch sauber aufschreiben" wie unser prof immer meint ^^

aber wenns worte tun gut hab nix dagegen Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht natürlich auch. Beispielsweise:

Da ungerade ist, gibt es zu jedem n eine natürliche Zahl m, so daß ist.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

frage zur a) :

würde ich beim IA mit n = 0 oder 1 anfangen? weil 0 ja eigentlich auch zu den natürlichen zahlen gehört ( bzw je nach dem ob man N mit oder ohne 0 definiert )
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du halten, wie du Kleingeld hast. Wenn du möchtest, daß die Aussage auch für n=0 gilt, mußt du den IA mit n=0 machen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

also bei der a) bin ich jetzt so vorgegangen:
IA für n = 1 kein problem
IV ( schenken wir uns jetz is klar )
IS:

so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:



der vordere ausdruck ist ja und beim hinteren ausdruck weiß ich nit so ganz ob ich richtig rauskomm, weil ich aufm blatt stehen hab, dass :

Eine natürliche Zahl n ist durch eine natürliche Zahl m teilbar, wenn ein
existiert mit m · k = n.

hab ich wsa falsch gemacht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hilfloser4
so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:



Das ist offensichtlich falsch, wie du auch leicht für n=1 überprüfen kannst.

EDIT: das ist Quatsch. Einfach ignorieren. Hammer
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm dacht ich mir fast, wie muss ich denn dann anfangen? bzw. war der anfang überhaupt richtig? also die summen auseinanderziehen? wohl eher nicht oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal die Klammerausdrücke in den Zählern auflösen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich das nicht gemacht indem ich in der gleichung

einfach die sachen ausmultipliziert ( bzw. binomische formeln angewandt habe? oder was is mit klammern auflösen gemeint?

weil so komm ich auf das was ich dann weitergeschrieben hatte
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn's unbedingt per Induktion sein soll (zumindest a und b lassen sich auch ganz einfach direkt beweisen), dann forme zunächst mal etwas um:



Und wenn Du darauf basierend mal untersuchst, dann wirst Du feststellen, dass



Damit sollte der Induktionsschritt dann machbar sein.


Die elementaren Rechenregeln für Potenzen, Brüche, etc. musst Du allerdings sicher beherrschen - sonst wird das nix.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hilfloser4
so dann hab ich umgeformt sprich die summen auseinander gezogen und bin jetzt hier:



Sorry für meinen vorigen Beitrag. Das ist natürlich richtig. (Weiß nicht, was ich mir gedacht hatte. Hammer )

Zitat:
Original von Hilfloser4
Eine natürliche Zahl n ist durch eine natürliche Zahl m teilbar, wenn ein
existiert mit m · k = n.

hab ich wsa falsch gemacht?

Es geht ja jetzt nicht um Teilbarkeit, sondern darum, daß a_n eine natürliche Zahl ist. Und offensichtlich ist dann auch eine natürliche Zahl, da man ja zu a_n "nur" eine natürliche Zahl addiert.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt ich bin fertig? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit einer entsprechenden Erläuterung bzw. Begründung. smile
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke dir
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab noch eine frage, die das nur peripher betrifft: ich habe eine aufgabe und mir dazu eine beweiskette angeschaut:



jetzt geht es nur um den Induktionsschritt! in dem wurde nämlich folgendes gemacht:



nur wieso?? wieso mal, wir haben doch ein Summenzeichen das heißt das müsste addiert werden oder seh ich was nicht?

gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht. Vielleicht wurde einfach nur falsch abgeschrieben. Augenzwinkern
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

das problem ist nur, dass ich das so verstehe wie er das macht und es kommt ja auch das richtige raus durch abschätzungen aber wie mach ich das bei der summe, weil ich hab komische ausdrücke mit ....hast du da ne idee? weiß nur nit halt wie ich dann abschätzen soll
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