harmonische Funktion

08.05.2012, 13:48	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
harmonische Funktion Meine Frage: hey! Bin auch mal wieder hier... Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^n\!{\setminus{\{o\}}} \to \mathbb R <br /> \ x\mapsto \|\|x\|\|^{2-n} \end{eqnarray}$ für n > 2 eine harmonische funktion ist (d.h. $\begin{eqnarray} \Delta f=0 \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f(x)= \Big\\|\!{ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}}\!{ \Big\\|^{2-n}}\ =\ \sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2 }^{\ 2-n}\ =\ (x_1^2+\dots +x_n^2)^\frac{2-n}{2} \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \nabla f=\Biggl(\frac{2-n}{2}\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{\frac{2-n}{2}-1}\cdot 2x_i \Biggl)\ =\ \Biggl((2-n)\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{-\frac{n}{2}}\cdot x_i \Biggl),\ i=1,\dots ,n \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \Delta f=\sum\limits_{i=1}^n -\frac{n}{2}(2-n)\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot x_i +(2-n)\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{-\frac{n}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(n-2)\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{-\frac{n}{2}-1}\sum\limits_{i=1}^n -\frac{n}{2}\cdot x_i +\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big) \end{eqnarray}$ weiter komm ich nicht bei dem ganzen salat, wschl sind fehler drin
08.05.2012, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Divergenz hast du bei der Produktregel die Ableitung vergessen, wenn ichs sehe.
08.05.2012, 15:00	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
echt? Also ich seh da jetz kein fehler... aber die eigenen fehler sieht man ja auch nie so gut wie die anderer...
08.05.2012, 15:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Kettenregel fehlt. Wenn du $\begin{eqnarray} \partial_i \\|x\\| \end{eqnarray}$ berechnest, darfst du die innere Ableitung $\begin{eqnarray} 2 x_i \end{eqnarray}$ nicht vergessen.
08.05.2012, 16:52	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay mal kurz durch gucken.... also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \|\|x\|\|^{2-n}}{\partial x_i}\ =\ (2-n)x_i\Big(x_1^2+\dots +x_n^2\Big)^{-\frac{n}{2}}\ =\ (2-n)x_i\|\|x\|\|^{-n}\qquad i=1,\dots , n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \|\|x\|\|^{2-n}}{\partial x_i^2}\ =\ (2-n)\left(-\frac{n}{2}\right)(x_1^2+\dots +x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot 2x_i\cdot x_i+(n-2)(x_1^2\dots + x_n^2)^{-\frac{n}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(n-2)\left(-n\|\|x\|\|^{-n-2}\cdot x_i^2+\|\|x\|\|^{-n}\right) \qquad i=1,\dots , n \end{eqnarray}$ ist das jetzt richtig? aber dann müsste ja 0 raus kommen... EDIT: summenzeichen vergessen: $\begin{eqnarray} \Delta f=\sum\limits_{i=1}^n (n-2)\left(-n\|\|x\|\|^{-n-2}\cdot x_i^2+\|\|x\|\|^{-n}\right) \end{eqnarray}$
08.05.2012, 16:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Du hast jetzt noch die Summe drumherum weggelassen. Mit der passt dann alles.
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08.05.2012, 17:13	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, du hast ja schon geantwortet während ich noch editiert hab! Du hast recht! Ich wollt jetz grad noch mal schreiben ich steh auf dem schlauch aber habs dann doch geschafft! vielen Dank!
08.05.2012, 17:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass es dann recht schnell geklappt hat

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