Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben

08.05.2012, 15:24

haertz

Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben

Meine Frage:
Hallo, Liebes matheboard,

Wir sind, wie so viele vor uns, Frischlinge im Board, haben aber bereits durch mehrere Beiträge Hilfe bei unseren Aufgaben erhalten. Leider finden wir keinen Beitrag, der uns zu dieser Aufgabe entsprechende Ansätze liefert.

Die Voraussetzungen sind hier: Es seien a,b aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit a,b $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Grüße,
Fabian und Steffen

Meine Ideen:
Das Grundprinzip, behaupte ich zumindest, ist uns klar. Leider irritiert uns das Fakultätszeichen hier total und lässt uns dumm aus der Wäsche gucken.

Für etwaige Ansätze zur Lösung wären wir sehr dankbar!

P.S.: Wir haben leider noch nicht das Wurzel-/Quotientenkriterium kennen gelernt. Deshalb konnten wir uns aus anderen Ansätzen keine Inspiration holen.

08.05.2012, 15:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Ansatz, wenn man nicht sieht, wie es gehen soll, ist bei solchen Aufgaben, Werte einzusetzen, z.B. $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{5^5}{5!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{1} \approx 26{,}04 \end{eqnarray*}$

Und dann $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \ldots \ldots \ldots \end{eqnarray*}$

Und dann sieht man doch schon, wie der Hase läuft. Dann muß man versuchen, zu abstrahieren und eine vom Beispiel losgelöste Begründung zu finden.

08.05.2012, 15:53

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben
Geht es darum das Konvergenzverhalten der Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^n}{n!},~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

zu untersuchen?

Wenn ja, dann ist das mit einer einzigen simplen Abschätzung sofort erledigt.

08.05.2012, 17:15

haertz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben

Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Geht es darum das Konvergenzverhalten der Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^n}{n!},~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

zu untersuchen?

Wenn ja, dann ist das mit einer einzigen simplen Abschätzung sofort erledigt.

Korrekt, darum geht es.
Haben uns da nach der Formulierung der Aufgabe gerichtet. Wir sollen untersuchen ob es konvergiert und wenn ja, den Grenzwert angeben.

Grüße

08.05.2012, 17:48

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben
Mit der Produktschreibweise wird's etwas offensichtlicher:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac nk=n\prod_{k=2}^n\frac nk\geq\ldots \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 19:38

haertz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Der erste Ansatz, wenn man nicht sieht, wie es gehen soll, ist bei solchen Aufgaben, Werte einzusetzen, z.B. $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{5^5}{5!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{1} \approx 26{,}04 \end{eqnarray*}$

Und dann $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \ldots \ldots \ldots \end{eqnarray*}$

Und dann sieht man doch schon, wie der Hase läuft. Dann muß man versuchen, zu abstrahieren und eine vom Beispiel losgelöste Begründung zu finden.

Okay, anhand der Beispiele, die wir noch etwas weitergeführt haben, behaupten wir, dass die Folge gen unendlich geht, denn je größer r aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, desto größer wird auch die Folge.
Soweit, so gut. Macht es denn hier Sinn, nun $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray*}$ anzuwenden? Zermahlen uns schon den ganzen Tag die Birne, allmählich geht die Puste aus :P

09.05.2012, 09:15

haertz

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut, das mit Limes einsetzen ist ja humbuck, da die Folge keinen grenzwert besitzt. Haben es bisher nur anhand der Beispiele begründen können. Werden es so abgeben und dann auf eine abstrahierte Antwort in der Übung hoffen! Vielen Dank für die Hilfe! Prost

09.05.2012, 09:20

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nutzt ihr die Hinweise nicht die ihr hier bekommt?

Ich hab euch doch klipp und klar hingeschrieben wie $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ganz einfach abgeschätzt werden kann.

Damit habt ihr $\begin{eqnarray*} a_n\geq n\text{ für alle }n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ womit dann auch formal alles klar sein sollte.

09.05.2012, 11:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
... ganz einfach abgeschätzt werden kann.

Und in meinem Beitrag kann man sich diese Abschätzung am Beispiel $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ konkret klarmachen.

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmung von Konvergenz und ggf. Grenzwert angeben

Verwandte Themen