Lineare Abhängigkeit Beweis

08.05.2012, 15:26

SYY99

Lineare Abhängigkeit Beweis

Hallo,

ich benötige Hilfe für die folgende Aufgabe

d) Sei nun A eine Matrix aus R2,2 und seien v1; , v2; Vektoren aus R2. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(i) Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch v1 und v2 linear abhängig.
(ii) Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch v1 und v2 linear abhängig.
(iii) Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabha ngig. (iv) Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabhängig.

was ich bisher herausgefunden habe:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v} _1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v} _2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{\vec{v_1} }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{\vec{v_2} }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Av1 und Av2 sind linear unabhängig nun
$\begin{eqnarray*} \vec{v_2} =A_{\vec{v2} } \end{eqnarray*}$

das heisst, dass nach dem Lösungsansatz ii und iv falsch sind

nun wollte ich fragen ob es soweit stimmt... falls nicht bitte ich um Korrektur

danke im voraus

08.05.2012, 15:45

klarsoweit

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RE: Lineare Abhängigkeit Beweis

Zitat:

Original von SYY99
(i) Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch v1 und v2 linear abhängig.
(ii) Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch v1 und v2 linear abhängig.
(iii) Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabha ngig. (iv) Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabhängig.

Am besten liest du dir dieses nochmal durch und dann schreibst du das nochmal neu. geschockt

08.05.2012, 15:57

Leopold

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[Off-Topic]Die Kombination

Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind v1 und v2 linear abhängig.

fehlt noch.[/Off-Topic]

08.05.2012, 19:09

SYY99

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ah tut mir leid
da gab es wohl Fehler beim kopieren

hier nochmal die Aufgabenstellung

Sei nun A ein Matrix aus R 2,2 und seien v1 und v2 Vektoren aus R2. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

1. Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch Av1 und Av2 linear abhängig.
2. Sind Av1 und Av2 linear abhängig, so sind auch v1 und v2 linear abhängig.
3. Sind Av1 und Av2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabhängig
4. Sind v1 und v2 linear unabhängig, so sind auch Av1 und Av2 linear unabhängig

09.05.2012, 09:03

klarsoweit

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RE: Lineare Abhängigkeit Beweis
Zunächstmal sind die Aussagen 1 und 3 sowie 2 und 4 äquivalent.

Zitat:

Original von SYY99
$\begin{eqnarray*} A_{\vec{v_1} }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{\vec{v_2} }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Av1 und Av2 sind linear unabhängig nun
$\begin{eqnarray*} \vec{v_2} =A_{\vec{v2} } \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl Av1 und Av2 sind linear abhängig. Damit sind dann die Aussagen 2 und 4 widerlegt.

15.11.2012, 10:32

pi4ipi4i

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Und wie kann man 1 und 3 beweisen?

Mfg, pî4ipi4i

15.11.2012, 11:35

klarsoweit

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Aussage 1 ist im Grunde trivial. Man nutze die Linearität der Abbildung A.
Aussage 3 folgt dann aus 1.

16.11.2012, 10:30

klarsoweit

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Nun denn, hier der Beweis von Aussage 1:

Wenn v1 und v2 linear abhängig sind, dann gibt es lambda_1 und lambda_2 mit:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt auch: $\begin{eqnarray*} A \cdot \left( \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 \right) = \lambda_1 \cdot (A v_1) + \lambda_2 \cdot (A v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Also sind auch Av1 und Av2 linear abhängig.

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