Bedingte Wahrscheinlichkeiten

08.05.2012, 16:39	Mulgard	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Informationen: - p(A\|B) = (p(A) n p(B)) / p(B) (Allgemein bekannte Formel wobei "n" "geschnitten" bedeutet) - p(A n B) = p(A\|B) * p(B) (Multiplikationssatz für beliebige Ereignisse) Ich verstehe nicht, für was der Multiplikationssatz für beliebige Ereignisse bringen soll, denn wenn ich die Formel einsetze bleibt übrig: p(A n B) = p(A n B) Mein Grundproblem ist, dass ich nicht weiß wie ich auf die Schnittmenge bei bedingten Wahrscheinlichkeiten komme. Ein Beispiel: Eine Familie hat zwei Kinder, die Wahrscheinlichkeit ein Kind zu bekommen ist 1/2, für ein Mädchen ebenfalls 1/2. Die Ereignisse seien unabhängig. Ergebnisraum = {(J,J), (J,M), (M,J), (M,M)} Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind unter der Bedingung das ein Kind ein Junge ist: p("Beide Jungen" \| "Einer Junge") = (p("Beide Jungen") n p("einer Junge")) / p("einer Junge") Die Lösung kenne ich, nämlich (1/4) / (3/4) aber wie kommt man auf die (1/4) ? Meine Ideen: Meine erste Idee war, dass ich einfach von 2/4 (Wahrscheinlichkeit das genau einer ein Junge ist) 1/4 abziehe (Wahrscheinlichkeit das beide Jungen sind) allerdings hat das nur hier funktioniert. Bei einer anderen ähnlichen Aufgabe hätte dies nicht funktioniert..... Zweite Aufgabe war nämlich: 100.000 Testpersonen, davon 50.000 Männlich und 50.000 Weiblich. 95 Personen sind an TBC erkrankt. p("Person ist Männlich" \| "Person ist TBC erkrankt") = (p("Person ist Männlich") n p("Person ist TBC erkrankt")) / p("Person ist TBC erkrankt") Also p("Person ist Männlich") ist ja 1/2, p("Person ist TBC erkrankt") ist 95/100.000, deshalb funktioniert das nicht. Ergebnis ist übrigens laut Lösung: (65/100.000) / (95/100.000) = 65/95
08.05.2012, 16:57	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Hallo, bei der Aufgabe geht es um bedingte Wahrscheinlichkeit. Für diese Aufgabe ist sie: $\begin{eqnarray} P(bJ\|1J)=\frac{P(bJ) \cdot P(1J\|bJ) }{P(1J)} \end{eqnarray}$ 1J : Ereignis 1 Junge bJ : Ereignis beide Jungen. Jetzt kann man die Werte einsetzen. $\begin{eqnarray} P(1J\|bJ) \end{eqnarray}$ Hier ist der Wert 1, da die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu haben, wenn beide Kinder Jungen sind gleich eins ist. Hast du den auch Probleme mit P(bJ) und P(1J)? Mit freundlichen Grüßen
08.05.2012, 17:03	Mulgard	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort passt leider nicht Die Quintessenz meiner Frage war wie man grundsätzlich auf ===> p(A n B) kommt. Die Formeln kenne ich. Allerdings weiß ich nicht (wie oben erwähnt) was mir der Multiplikationssatz für zwei beliebige Ereginisse bringen soll und wie man eben die Schnittmenge zweier Wahrscheinlichkeiten berrechnen kann....
08.05.2012, 18:26	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Der "Multiplikationssatz" ist dafür da, damit du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden kannst. Und die Berechnung von $\begin{eqnarray} P(A \cap B) \end{eqnarray}$ hängt davon ab, ob die Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig sind. Wie man auf die Schnittmengen kommt hängt davon ab, ob die Ereignisse stochastisch abhängig sind oder nicht. Zahlen 1 bis 10 können gezogen werden. Ereignis uZ: ungerade Zahl Ereignis <5: Zahl kleiner 5 Wenn man jetzt eine ungerade Zahl ziehen will, die kleiner 5 ist, dann sind die beiden Ereignisse stochastisch abhängig. Also kann man nicht einfach schreiben, $\begin{eqnarray} P(uZ\|<5)=\frac{P(uZ) \cdot P(<5) }{P(<5)} \end{eqnarray}$ Sondern man muss berücksichtigen, dass wenn die gezogene Zahl kleiner 5 sein soll, dass die Wahrscheinlichkeit geringer ist, wenn sie nur aus ungeraden Zahlen gezogen werden kann. Also ist hier *$\begin{eqnarray} P(<5 \cap uZ) = P(uZ) \cdot P(<5\|uZ) \end{eqnarray}$* und somit die bedingte Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} P(uZ\|<5)=\frac{P(uZ) \cdot P(<5\|uZ) }{P(<5)} \end{eqnarray}$ Und die Schnittmenge von den beiden Ereignissen ist ja klar: 1,3 Man nimmt die Menge uZ (1,3,5,7,9) und und davon wieder ( deshalb bedingte Wahrscheinlichkeit) die Zahlen die kleiner 5 sind (1,.3). Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen, da drückt sich $\begin{eqnarray} P(A \cap B) \end{eqnarray}$ anders aus. Hier kann man schreiben $\begin{eqnarray} P(A \cap B) = P(A)P(B). \end{eqnarray}$ Beispiele hierfür sind: Wahrscheinlichkeit eine gerade zahl zu ziehen, wenn man schon ungerade Zahl gezogen hat: $\begin{eqnarray} P(uZ)P(gZ) \end{eqnarray}$ Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu bekommen, wenn man schon ein Jungen hat: $\begin{eqnarray} P(J)P(M) \end{eqnarray}$ Noch mal so grundsätzlich wie möglich: Auf die Schnittmenge kommt man, indem man sich die Mengen aufschreibt und deren Wahrscheinlichkeiten ermittelt, sofern die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht schon gegeben sind. Bei den beiden Buben ist ja der Zähler: $\begin{eqnarray} P(bJ) \cdot P(1J\|bJ) \end{eqnarray*}$ Also ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmengen einmal dass ein Junge geboren wird, gegeben dass zwei Jungen geboren werden, und der Wahrscheinlichkeit dass beide Kinder Jungen sind. Ich habe das Gefühl ich treff deine Frage nicht genau. Bin aber auch ratlos, was und wie ich noch schreiben kann. Wenn noch jemand eine bessere Antwort auf die Frage von Mulgard hat, bitte posten. Mit freundlichen Grüßen
08.05.2012, 19:16	Mulgard	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat sehr geholfen, vielen Dank
08.05.2012, 19:22	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich aber froh, dass ich deinen Punkt einigermaßen getroffen habe. Mit freundlichen Grüßen.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »