Beweis einer nicht zyklischen Gruppe.

08.05.2012, 17:49

NeoLexx

Beweis einer nicht zyklischen Gruppe.

Hallo zusammen,
folgende Aufgabe soll von mir gelöst werden:

Zeigen Sie, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} $G= \mathbb Z_4\times \mathbb Z_6 $ \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch ist.

Ich verstehe die Aufgabe so:

Ich soll beweisen, dass G nicht von einem Element aus G erzeugt werden kann. (Denn so ist eine zyklische Gruppe definiert, es gibt ein Element aus G, welches die Gruppe vollständig erzeugt.)

Nun könnte ich nacheinander alle Elemente aus G ausprobieren und zeigen, dass keins von diesen Element G vollständig erzeugt, aber irgendwie denke ich, dass das so nicht vorgesehen ist.

Ich habe jedoch leider keinen anderen Ansatz, denn ich verfolgen könnte. unglücklich

Hat einer von euch eine Idee wie man sowas angehen kann?

08.05.2012, 19:09

tmo

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Nimm dir mal ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x = (a,b) \in \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_6 \end{eqnarray*}$ und berechne $\begin{eqnarray*} x^{12} \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} 12x \end{eqnarray*}$ wenn du die Gruppen additiv schreibst)...

08.05.2012, 20:04

NeoLexx

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Hmm, bin mir nicht sicher ob ich dich richtig verstanden habe... .

$\begin{eqnarray*} (a,b)^1=(a,b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a,b)^2=(a+_4a,b+_6b) \end{eqnarray*}$

.
.
.
.
$\begin{eqnarray*} (a,b)^{12}=(12_4*a,12_6*b) \end{eqnarray*}$

Meinst du das so? Leider sagt mir das nichts. verwirrt

08.05.2012, 20:08

tmo

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} 12a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ ?

08.05.2012, 20:22

NeoLexx

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Okay, für $\begin{eqnarray*} x^{12} \end{eqnarray*}$ haben wir also $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , also jeweils das neutrale Element. Aber warum ist das ein Beweis dafür, dass G nicht zyklisch ist? verstehe ich nicht so ganz..

08.05.2012, 20:24

tmo

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Wie viele Elemente hat denn G?

D.h. welche Ordnung müsste ein erzeugendes Element haben?

08.05.2012, 20:33

NeoLexx

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Okay G hat 24 Elemente. Also müsste ein erzeugendes Element x die ord(x)=24 haben. Und wir haben gezeigt, dass ein belibiges x aus G ord(x)=12 hat. Also nicht in der Lage ist g zu erzeugen. Freude

Danke für deine Hilfe. smile

08.05.2012, 20:40

tmo

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Zitat:

Original von NeoLexx
Und wir haben gezeigt, dass ein belibiges x aus G ord(x)=12 hat.

Genau genommen haben wir nur gezeigt, dass jedes Element höchsten Ordnung 12 hat. Z.b. hat $\begin{eqnarray*} (2,2) \end{eqnarray*}$ Ordnung 6.

Aber sonst ist die Argumentation natürlich jetzt richtig, wir haben gezeigt, dass kein Element Ordnung 24 hat, also sind wir fertig.

08.05.2012, 20:49

NeoLexx

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Oder (0,0) ord=1, okay.

Ist immer wieder ne Freude mit euch die Aufgaben zu besprechen. Tanzen

Hoffe, dass ich irgendwann mal ebenfalls in der Lage bin jemanden zu helfen... . Lehrer

bis dann.. .

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