Integral bestimmen

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Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral bestimmen
Hallo Forum,

ich bin gerade dabei folgendes Integral zu berechnen. Ich komme auch zu einem Ergebnis, aber ich bin davon überzeugt, dass es falsch ist, da es einfach keinen Sinn ergibt. Die Aufgabe lautet:



mit:

Ich komme auf folgendes Integral:



mit c=(-1), b= und a=

Daraus ergibt sich dann:



Wenn ich jetzt aber folgendes berechne:



Und das ergibt ja 0.

Irgendwo habe ich hier wohl einen Denkfehler. Ich habe auch schon jemanden aus der Uni gefragt, aber der wusste auch nicht weiter. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Normal hätte ich nämlich gedacht, dass dieses Integral die Kreisfläche berechnen wird. Also ist 0 ziemlich unlogisch oder?

Danke im Vorraus, für jede Hilfe Big Laugh


PS: Ich entschuldige mich für die etwas unübersichtlichen Integralgrenzen, aber irgendwie nimmt Latex hier bei mir nur positive Zahlen an....wahrscheinlich mache ich hier wohl etwas falsch.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Zitat:
Original von Bobby197
Ich komme auf folgendes Integral:



mit c=(-1), b= und a=

Also dieses hier:

Zitat:
Original von Bobby197
Daraus ergibt sich dann:



Kannst du erklären, wie du darauf gekommen bist. Wenn c=-1 ist, wäre dein Integrand teilweise negativ, was aber nicht sein kann, da du ursprünglich einen positiven Integranden hattest.

Zitat:
Original von Bobby197
Normal hätte ich nämlich gedacht, dass dieses Integral die Kreisfläche berechnen wird.

Die Kreisfläche wird mit berechnet.
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Erstmal danke für deine Hilfe Freude


Zitat:
Original von klarsoweit


Zitat:
Original von Bobby197
Daraus ergibt sich dann:



Kannst du erklären, wie du darauf gekommen bist. Wenn c=-1 ist, wäre dein Integrand teilweise negativ, was aber nicht sein kann, da du ursprünglich einen positiven Integranden hattest.


Die Grenzen des Intervalls habe ich aus K entnommen. Nachdem ich y:=0 gesetzt habe.
Ich dachte, dass sich nun ergibt, dass x zwischen 1 und -1 liegen muss. Da gilt.

Ansonsten habe ich einfach nach y integriert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Zitat:
Original von Bobby197
Ansonsten habe ich einfach nach y integriert.

Und genau das möchte ich mal sehen, wie du das machst. Immerhin ist die Betragsfunktion ja nicht so einfach zu händeln.
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Bobby197
Ansonsten habe ich einfach nach y integriert.

Und genau das möchte ich mal sehen, wie du das machst. Immerhin ist die Betragsfunktion ja nicht so einfach zu händeln.


Dann liegt hier wohl der Fehler. Ich habe den Betrag mehr oder weniger ignoriert^^
Muss ich also unterscheiden?
d.h

für <0, >0 und =0 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Im Prinzip ja. Du kannst noch |xy| = |x| * |y| schreiben und mußt dann bei der Integration über y die Unterscheidung y < 0 und y >= 0 vornehmen.

Andere Frage: was war denn die ursprüngliche Aufgabenstellung?
 
 
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Zitat:
Original von klarsoweit
Im Prinzip ja. Du kannst noch |xy| = |x| * |y| schreiben und mußt dann bei der Integration über y die Unterscheidung y < 0 und y >= 0 vornehmen.

Andere Frage: was war denn die ursprüngliche Aufgabenstellung?


So habe ich jetzt auch gedacht:



Dann gilt also:

für y<0

für y>0

und 0 für y=0

Dies wird dann noch mit multipliziert.

Ich hoffe, dass das alles so richtig ist bis jetzt.


Die ursprüngliche Aufgabenstellung lautet, dass ich folgendes Integral berechnen soll:



mit


Ich würde jetzt unseren Ansatz fortsetzen und für y folgendes einsetzen:


Da sich diese Grenze ergibt, wenn ich umstelle. Ist dieser Gedanke soweit richtig?

Auf jeden Fall schonmal danke, für die Hilfe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen
Soweit ok. Ich frage mich aber, ob euer Thema nicht "Integration-Transformation" sein könnte und ob du da nicht die Transformation mit Polarkoordinaten üben solltest.
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatten wir auch schon in der Vorlesung. Das würde natürlich auch Sinn ergeben. Aber wäre die Aufgabe dann nicht anders formuliert worden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe in der Aufgabe keine Hinweise auf einen geforderten Lösungsweg. Da das Integrationsgebiet ein Kreis ist, bieten sich nun mal Polarkoordinaten an.
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich sehe in der Aufgabe keine Hinweise auf einen geforderten Lösungsweg. Da das Integrationsgebiet ein Kreis ist, bieten sich nun mal Polarkoordinaten an.


Mit Polarkoordinaten komme ich auf folgendes Integral:



Jetzt verwirrt mich nun immer noch der Betrag. Muss ich hier wieder auf die verschiedenen Fälle eingehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Pinzip ja, wobei eine gerade Funktion ist und du somit nur von 0 bis pi integrieren mußt, wenn du dafür das Ergebnis verdoppelst. Dann brauchst du nur noch eine Fallunterscheidung für den cos(phi) machen. smile
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben also folgendes Integral:



Ich kann das r^2 aus dem Betrag holen, da r nicht negativ wird:



Löse ich das Integral, erhalte ich:





klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du da gerechnet hast. Da maximal 1/8 ist, kann das Integral maximal pi/8 sein.

Außerdem solltest du bedenken, daß auf dem Intervall (pi/2; pi) negativ ist, so daß der Betrag entsprechend zu behandeln ist.
Bobby197 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich jetzt die richtige Lösung habe.



Jetzt kann ich r aus dem Betrag ziehen, da r nicht negativ wird.



Dann integriere ich r von 0 bis 1. Den Term für r=0 kann ich weglassen, da so der Term =0 ist.



Die Konstante kann ich rausziehen. Außerdem setze ich die Grenzen von 0 bis und multipliziere dafür mit 2. Deswegen erhalte ich:



Und das ist:




Ich denke, so muss das richtig sein. Ich habe es anschließend bei Wolfram Alpha zur Kontrolle eingegeben und es kam auch das gleiche Ergebnis heraus.

Hier noch einmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich wäre wohl nicht alleine auf die Idee gekommen, in Polarkoordinaten umzuformen....
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