Einheitskugel, Sphäre

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Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitskugel, Sphäre
Hi, ich brauche mal Hilfe bei einer Aufgabe.

Aufgabe:
Sei ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass der Rand der abgeschlossenen Einheitskugel in die Sphäre ist.

Meine Ideen:
Ich will zeigen, dass jedes beliebige ein Randpunkt von ist, d.h. für jedes und jedes gilt sowohl als auch .

Sei also beliebig. Da auch , gilt ja . Folglich ist für alle .
Weiterhin ist .

Hier wollte ich einen Widerspruchsbeweis machen, allerdings weiß ich nicht so recht wie.

Danke schonmal für die Hilfe,

Alaster
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Erste Idee ist ok. - Weise einen inneren Punkt nach (3-EcksUnglg.) mit Konvex-Ansatz ... für (Skizze mit 2 Kreisen ...) Beachte: für vorgelegtes

Mit shiftest Du ihn zum äusseren Punkt ...
d.h.

Da beide (versch.) trifft dieses stets das Innere und das Äussere von B ... *fertig*
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, aber damit kann ich so gut wie nichts anfangen, konvexe Kugeln haben wir noch nicht gehabt, dementsprechend darf ich es auch nicht verwenden.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Von konvexen Kugeln habe ich nicht gesprochen. Es sind schlicht Strecken zw. zwei Punkten. Hast Du Dir wenigstens eine Skizze gemacht, um den Ansatz nachzuvollziehen ?

Vermutlich nicht ! Freude
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Zitat:
Original von SusiQuad
Erste Idee ist ok. - Weise einen inneren Punkt nach (3-EcksUnglg.) mit Konvex-Ansatz ... für (Skizze mit 2 Kreisen ...) Beachte: für vorgelegtes

Mit shiftest Du ihn zum äusseren Punkt ...
d.h.

Da beide (versch.) trifft dieses stets das Innere und das Äussere von B ... *fertig*


Okay, ich versuchs nochmal: Also wenn ich betrachte, dann ist das ja ein Vektor, dessen Länge kleiner als ist, da ja gilt. Das bedeutet, wenn ich einen Kreis drumlege, dann ist dieser Vektor auf jeden Fall immer mit enthalten?
So, jetzt ist ein Vektor, dessen Länge kleiner gleich ist, aber immer noch kleiner als die Länge des Vektors, der wegen dem Radius mit direkt auf dem Rand von liegen würde? Ab hier komm ich nicht mehr so ganz weiter...
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Gut. - ist vorgegeben.

innerer P.
äusserer P.

beide erkennbar in

Konstruktion über Strecken ...
(man hätte sich oben noch ein gescheites t suchen müssen)
 
 
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Zitat:
Original von SusiQuad
Gut. - ist vorgegeben.

innerer P.
äusserer P.

beide erkennbar in

Konstruktion über Strecken ...
(man hätte sich oben noch ein gescheites t suchen müssen)


Hm, also dass diese beiden Punkte jetzt in liegen, habe ich verstanden. Ist jetzt die Idee, dass man diese beiden Punkte sozusagen verbinden könnte, und dabei zwangsläufig den Vektor treffen muss? Steh grad noch so ein bisschen auf dem Schlauch... und das mit dem hab ich auch noch nicht so ganz raus.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Hattest Du oben ...
Zitat:
als auch .



Und jetzt haben wir 2 Kandidaten

Zeige: Beide in
UND der eine IN der andere DRAUSSEN, dh. in

Damit ist jedes Randpunkt von oder kurz:
... was z.zg. war ?!

__________________

Die Konstruktion mit war nur eine Krücke. Ein Strich durch und damit Du für beliebiges 2 Kandidaten vorweisen kannst, einen inneren Pkt + einen äusseren Pkt von , die jedoch in liegen müssen.

Dass die beiden auf der Geraden liegen, sollte Dich nicht verwirren, es hat den Nachweis NUR (fast) trivial gemacht.

Die beiden Kandidaten haben sonst nix zu leisten, ausser ... (s.o)
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Zitat:
Original von SusiQuad
Zeige: Beide in
UND der eine IN der andere DRAUSSEN, dh. in

Damit ist jedes Randpunkt von oder kurz:
... was z.zg. war ?!

Das versuche ich jetzt einfach mal:
Sei beliebig vorgegeben und seien und zwei Vektoren aus , wobei .
Ich zeige zuerst, dass (i) und (ii) .
Für (i) gilt:
.
Damit ist (i) gezeigt.
Für (ii) gilt:
.
Fall 1: .
Fall 2: . ( wird ja beliebig klein oder?)
Also insgesamt: .
Für den zweiten Kandidaten müsste man es auch mit Abschätzungen machen können. Ist das so der richtige Beweisansatz? Ich hab versucht das umzusetzen, was du geschrieben hast.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Du brauchst keine Fallunterscheidung. Betrag ist immer 0. Und darfst Du auch als hinreichend klein annehmen.

Die beiden und hab ich nur so ausführlich hingeschrieben, damit Du die Konstruktion erkennst.

Und JA, das ist ein formaler Nachweis für die behaupteten Eigenschaften von und .

Wenn Du aus dieser Aufgabe etwas mitnimmst, dann dass eine Skizze die allererste und beste Idee ist (und natürlich wie man Mengen über den Rand abschliesst).
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel, Sphäre
Danke für deine Hilfe, hat echt was gebracht, jetzt weiß ich wie ich es machen muss. Das mit der Fallunterscheidung beim Betrag <0 ist natürlich schwachsinnig, ich wollte eigentlich damit unterscheiden, dass der Inhalt des Betrags kleiner Null ist.
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nicht auch noch zeigen, dass alle anderen Punkte aus keine Randpunkte sind?
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. - Im übrigen wäre es erfolglos.

Wir haben hier d.h. ist abgeschlossen.
Und

Mehr Rand geht nicht.
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