Differentielle Zerfallsgleichung lösen, integrierte Form des Zerfallsgesetzes

08.05.2012, 17:36

mrclndr

Differentielle Zerfallsgleichung lösen, integrierte Form des Zerfallsgesetzes

Zitat:

Das radioaktive Isotop Techneticum-99 wird für medizinische Untersuchungen intravenös verabreicht. Tc-99 hat eine Halbwertszeit von 6,02 Stunden.
a) Löse die differentielle Zerfallsgleichung (dm/dt) = -k * m(t) für die Anfangsbedingung m(0)=m0 allgemein und bestimme den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der Halbwertszeit. Wie lautet die integrierte Form des Zerfallsgesetzes für Tc-99?
(Lösung: k = 0,115141)

Wir wissen nicht, wie das funktionieren soll. Nicht ansatzweise. Wir bräuchten möglichst umfassende Hilfe zur Lösung dieser Aufgabe.

Wink

lg
vera

, marsl

08.05.2012, 18:39

Kasen75

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Hallo,

also erst aml die Differentialgleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} dm/dt = -k * m(t) \end{eqnarray*}$

Dafür dt auf die rechte Seite (Gleichung mal dt) und mt auf die linke Seite (Gleichung durch m(t)

$\begin{eqnarray*} dm/m(t) = -k * dt \end{eqnarray*}$

Diese beiden Seiten kann man jetzt integrieren. Linke Seite nach der Variablen m und rechte Seite nach der Variablen t.

Da steht dann:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{m(t)} \, dm = \int \! -k \, dt \end{eqnarray*}$

Könnt ich die linke Seite nach m und die rechte Seite nach t integrieren?

Hinweis: $\begin{eqnarray*} 1/m(t) \end{eqnarray*}$ integriert nach m ergibt ln(m(t).

Mit freundlichen

08.05.2012, 18:50

mrclndr

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Danke!

Und was ist der Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der Halbwertszeit?

freundliche zurück
vera Tanzen

, marsl

08.05.2012, 18:53

Kasen75

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Ihr sind ja leider noch nicht fertig. Was habt ihr den bei der Integration raus?

Zitat:

Wie lautet die integrierte Form des Zerfallsgesetzes für Tc-99?

Mit freundlichen Grüßen.

08.05.2012, 18:59

mrclndr

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Wir haben berechnet:
ln(m(t)) = -k*t
ist das richtig?

08.05.2012, 19:08

Kasen75

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Wow. Sehr gut. Freude

Ich mach jetzt nur noch die Integrationskonstanten dazu:

$\begin{eqnarray*} ln(m(t)) +c_1 = -k*t + c_2 \end{eqnarray*}$

Die Konstanten auf rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} ln(m(t)) = -k*t + c_2 - c_1 \end{eqnarray*}$

der Ausdruck $\begin{eqnarray*} c_2 - c_1 \end{eqnarray*}$ wird zusammengefasst zu C

$\begin{eqnarray*} ln(m(t)) = -k*t +C \end{eqnarray*}$

Um nach m(t) aufzulösen muss man dass ln wegkriegen. Die Umkehrfuktion der ln-Funktion (ln(x)) ist $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ . Also links steht dann m(t). Was steht dann rechts?
Versuchts mal.

m(t) = .....

08.05.2012, 19:44

mrclndr

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Wenn wir das auf beiden Seiten machen, dann kommt raus:

m(t)= e ^-k*t + e^C

ist das richtig? aber was bedeutet jetzt das C in dieser Gleichung?

Tausend Dank!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

08.05.2012, 20:03

Kasen75

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Ach wieder gut. Freude

Das einzige was man anders schreiben muss ist das Plus-Zeichen.

Im Prinzip nimmt man die ganze rechte über das e.

$\begin{eqnarray*} m(t)= e ^{-k*t+C} \end{eqnarray*}$

Diese C kann man vom restlichen Ausdruck trennen.

Man macht die Umkehrung des Satzes: Variablen der selben Basis (hier: e) werden multipliziert in dem man die Hochzahlen addiert.

Wenn man den Ausdruck auf der rechten Seite auseinanderzieht, dann steht da.

$\begin{eqnarray*} m(t) = e^{-k \cdot t} \cdot e^C \end{eqnarray*}$

Und dieses $\begin{eqnarray*} e^C \end{eqnarray*}$ ist der Anfangswert m(0)

Also:

$\begin{eqnarray*} m(t) = e^{-k \cdot t} \cdot m(0) \end{eqnarray*}$

Gegebene Werte:

Zitat:

Halbwertszeit von 6,02 Stunden

Was sind die 6,02 Stunden in der Formel?

Und wenn m(0) = 100 ist, wie groß ist dann m(t) zum Zeitpunkt der Halbwertszeit?

Damit kann man für 3 der 4 Unbekannten ( k, t, m(0), m(t) ) konrete Werte einsetzen.

Wie sieht die Formel

$\begin{eqnarray*} m(t) = e^{-k \cdot t} \cdot m(0) \end{eqnarray*}$

mit Zahlenwerten dann aus?

09.05.2012, 14:15

mrclndr

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Konnten die Gleichung selber lösen, sobald wir mit deiner Hilfe die Zerfallsgleichung hatten. Vielen Dank!!!!!!!! Gott

Letzte Frage: Warum ist e^C gleich m(0)?

Wink

lg
vera

, marsl

09.05.2012, 16:04

Kasen75

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Hallo,

B(0) ist ja der Anfangswert. Das ist sowas wie bei einer linearen Funktion die Konstante b.

y=mx+b

Man sieht es auch an der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} m(t)= e ^{-k*t+C} \end{eqnarray*}$

Über dem e steht eine lineare Funktion mit m = -k und b=C.

Egal was man für t einsetzt es wird im Exponenten immer C dazugezählt. Somit ist C die Konstante der Exponentialfunktion.

Wenn man den Ausdruck $\begin{eqnarray*} m(t) = e^{-k \cdot t} \cdot e^C \end{eqnarray*}$
dann sich anschaut, wird egal was t ist, immer wird mit e^C multipliziert. Also ist e^C der Anfangswert.
Soweit meine Erklärung. Ich hoffe das trifft eure Frage. Ich sehe schon. Ihr wollt es genau wissen.

Mit freundlichen Grüßen

09.05.2012, 16:36

mrclndr

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Danke!! Wir haben keine weiteren Fragen.

Wink

lg
vera

, marsl

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