Lösungen von (1+y²+(1+x²)) y'=0

08.05.2012, 20:43

Daniel3

Lösungen von (1+y²+(1+x²)) y'=0

Hallo,

ich stehe vor der Aufgabe, die Lösungen von $\begin{eqnarray*} 1+y²+(1+x²)\cdot y'= 0 \end{eqnarray*}$ zu finden.

Eine Lösung sollte ja sein: $\begin{eqnarray*} y'= 0 \end{eqnarray*}$

Muss ich für die restlichen Lösungen nur die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1+y²+(1+x²)= 0 \end{eqnarray*}$ einmal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und einmal nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen?

Gruß

Daniel

08.05.2012, 20:49

Mulder

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RE: Lösungen von (1+y²+(1+x²)) y'=0

Zitat:

Original von Daniel3
Eine Lösung sollte ja sein: $\begin{eqnarray*} y'= 0 \end{eqnarray*}$

Was? Wieso? verwirrt

Diese DGL kannst du einfach mit "Trennung der Variablen" lösen.

Und ich verschiebe es mal in die Analysis.

08.05.2012, 21:23

Daniel3

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Danke für die Antwort. Aber da müsste doch die Form $\begin{eqnarray*} y'= f(x)\cdot g(y) \end{eqnarray*}$ vorliegen. Das kann ich irgendwie nicht mit meiner vorliegenden Gleichung in Verbindung bringen.

Edit: Variable berichtigt

08.05.2012, 21:29

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel3
Das kann ich irgendwie nicht mit meiner vorliegenden Gleichung in Verbindung bringen.

Doch, das kannst du.

08.05.2012, 22:12

Daniel3

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Ist die Umformung richtig: $\begin{eqnarray*} f'=-1-y^{2} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 22:24

Mulder

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Fragst du mich jetzt echt, ob du korrekt subtrahiert und dividiert hast? Du hast ja viel Vertrauen in deine Fähigkeiten...

Aber ja, das stimmt prinzipiell. Nur ist natürlich auf Klammersetzung zu achten. Punkt vor Strich und so. Also allenfalls

$\begin{eqnarray*} y' = -(1+y^2) \cdot \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 15:10

Daniel3

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Okay, nach der Trennung komme ich dann auf:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{-\left(y^{2}+1 \right) } \, dy = \int \! \frac{1}{x^{2}+1 } \, dx \end{eqnarray*}$

Bin mir nicht sicher ob ich korrekt integriert habe: $\begin{eqnarray*} \frac{ln| -y^{2}-1 | }{-2y} = \frac{ln| x^{2} +1 | }{2x} \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 15:27

Mulder

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Nein, das ist vollkommen falsch integriert. Über diesen Fehler stolpert man immer wieder. Nach dem Motto "einfach die innere Funktion ableiten und den Kehrwert als Faktor davor schreiben". Das klappt auch wunderbar, solange die innere Funktion linear ist. Das ist hier aber nicht der Fall. Ist dir denn nicht klar, dass du bei sowas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x^2+1)}{2x} \end{eqnarray*}$

wenn du das wieder ableiten würdest, die Quotientenregel benötigen würdest und dadurch etwas vollkommen anderes rauskommen würde?

Jedenfalls solltest du mal nachsehen, was die Ableitung des Arkustangens ist.

09.05.2012, 16:08

Daniel3

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Okay, danke für den Tip, dann ist es wohl eher:
$\begin{eqnarray*} -\tan^{-1} (y)= \tan^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

und damit
$\begin{eqnarray*} y=-x \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 16:10

Mulder

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Du hast die Integrationskonstante vergessen.

Du hast jetzt nur eine spezielle Lösung. Aber ich denke mal, du willst alle haben, oder?

09.05.2012, 16:48

Daniel3

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Stimmt, ich brauche alle. Also dann so:

$\begin{eqnarray*} y=-\tan^{-1} (\tan^{-1} (x) +c ) \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 17:03

Mulder

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Also ich komme auf

$\begin{eqnarray*} y = \tan(c- \arctan(x)) \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 17:12

Daniel3

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Wie kommst du darauf?

09.05.2012, 17:15

Mulder

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Da wir hier im Hochschulbereich sind, würde ich es eigentlich als selbstverständlich annehmen, dass du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} -\arctan(y) = \arctan(x)+c \end{eqnarray*}$

nach y auflösen kannst.

09.05.2012, 17:18

Daniel3

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Ok, danke.

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