Differentialgleichung 1. Ordnung Substitution möglich?

08.05.2012, 21:34

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Differentialgleichung 1. Ordnung Substitution möglich?

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe eine Frage, was auch sonst.:-)

Und zwar geht es um folgende Aufgabe:

Geg.: x * dy/dx + y = 2 * ln x

Ges.: Lösung des Randwertproblems

Meine Ideen:
Lsg.:

So......ich habe das richtige ergebnis heraus, das schonmal vorab. Und zwar durch Trennung der Variablen und Variation der Konstanten. Allerdings habe ich jetzt mal zum Spaß ausprobiert, ob die Aufgabe auch mittles Substitution lösbar ist. Ich sitze hier und komme einfach nicht weiter. das muss doch gehen oder? Hier mal kurz meine Überlegungen:

dy/dx + y/x = 0 y' = dy/dx

y/x = u
y= u * x
y' = u' * x + u
y' = du/dx * x + u

einsetzen:

du/dx * x + u + u = 0

du/dx * x + 2u = 0

du/-2u = dx/x

Beide seiten integriert:

1/-2 * ln |-2u| = ln |x * C|

e^ (ln|-2u|/-2) = e^ (ln|x*c|)

1/(Wurzel 2u) = x*c

--> y = 1 / (2 * x * c^2)

es muss rauskommen:

y = c/x

Wo liegt mein enkfehler bzw. darf ich so überhaupt rechnen.
Vielen Dank schonmal.

Liebe Grüße

PS: Wie schreibt man hier in mathematischen zeichen?

08.05.2012, 21:53

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Substitution möglich?
Formeln kannst du in Latex schreiben, über dem Antwortfeld siehtst du einen Button mit "f(x)", der öffnet die Latex-Umgebung. Wenn du mit Latex nicht vertraut bist, liefert dir der Formeleditor eine Starthilfe.

Also du betrachtest da jetzt auch wieder die homogene DGL nach der Substitution, ja?

Zitat:

Original von flippy20
du/-2u = dx/x

Okay, da landet man doch nun bei

$\begin{eqnarray*} \ln(u) = -2 \ln(x) + \tilde c \end{eqnarray*}$

und damit bei

$\begin{eqnarray*} u = c \cdot e^{-2 \ln(x)} = c \cdot x^{-2} \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution $\begin{eqnarray*} y=ux \end{eqnarray*}$ liefert dann

$\begin{eqnarray*} y= \frac c x \end{eqnarray*}$

Diese Substitution ist allerdings ziemlich sinnlos. Bringt ja irgendwie gar nichts.

Aber wenn dich für diese DGL noch eine Lösung interessiert, die komplett ohne Variation der Konstante oder Trennung der Variablen auskommt:

$\begin{eqnarray*} xy'+y = 2 \ln(x) \end{eqnarray*}$

Links erkennt man die Produktregel und man erhält

$\begin{eqnarray*} (xy)' = 2 \ln(x) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} x \cdot y = 2 \int \ln(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Das Integral lösen, auf beiden Seiten dann noch durch x teilen und fertig. Ist wesentlich einfacher als die "üblichen" Lösungsmethoden an dieser Stelle.

08.05.2012, 22:34

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mulder

Vielen Dank schonmal

Wie kommst du auf die Multiplikation bei c?

Mir ist das noch nicht so ganz einleuchtend.

Und was ist an meiner Rechnung oben falsch gewesen?

Aber vielen Dank schonmal.

08.05.2012, 22:44

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

also:

e^(-2ln(x)+ln(c)) = c * x^-2

Wie kommst du dadrauf?

08.05.2012, 22:50

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von flippy20
Wie kommst du auf die Multiplikation bei c?

Die Frage ist sehr unpräzise, damit kann ich nichts anfangen.

Zitat:

Original von flippy20
Und was ist an meiner Rechnung oben falsch gewesen?

Es ist irgendwie alles so ungeschickt und umständlich, was du da machst. Und den Umgang mit dieser Integrationskonstanten scheinst du noch üben zu müssen. Denn an einer Stelle macht man nunmal den Schritt von

$\begin{eqnarray*} e^{x+C} = e^x \cdot e^C \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} c \cdot e^x \end{eqnarray*}$

um auch die Lösungen mit negativem Vorfaktor abzudecken (denn die e-Funktion wird ja nie negativ und damit auch das e^C nicht). Da muss man ein bisschen Gespür für entwickeln, das kommt mit der Zeit. Bei dir ist das Problem, dass du das c mitquadrierst und dadurch Lösungen verloren gehen. Und wenn man sowas wie 2*C hat, kann man auch das zu einer neuen Konstanten C' zusammenfassen, die Lösungsmenge bleibt die gleiche.

Was ich mir aber beispielsweise nicht erklären kann, ist, wieso hier

Zitat:

1/-2 * ln |-2u| = ln |x * C|

auf der rechten Seite in dem ln jetzt x*C steht. Denn erstmal erhält man C als Summanden bei der Integration. Du machst daraus ein Produkt, warum auch immer.

Und dann steht links ln(-2u), was nur wieder unnötig kompliziert ist. ln(u) reicht. Da fehlt einfach das Gespür, sich das Leben möglichst einfach zu machen.

Edit: Die präzisierte Fassung habe ich ja nebenbei eantwortet.

09.05.2012, 11:25

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

super vielen Dank Mulder.
hast mir echt spitze geholfen.

Anzeige

09.05.2012, 11:57

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral dx/x = ln (x) + ln (u) = ln (u*x)

Daher kommt mein Produkt.
Ist das nicht richtig?

09.05.2012, 12:51

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes habe ich gerechnet:

Integrieren (beide Seiten):

du/-2u = dx/x

-1/2 ln(u) = ln(x) + ln(c)

e^[-1/2*ln(u)] = e^[ln(x*c)]

1/Wurzel(u) = x* c

So hier muss irgendwo der Fehler sein und ich finde ihn nicht.:-)

Ich weiß selbst, dass es so umständlich ist. aber ich würde trotzdem gerne wissen, was ich genau falsch mache.:-) Deine Lösungen sind echt super danke. habe jetzt durch dich 2 Lösungen und selbst schon 2 Lösungen gefunden. Aber hier das lässt mich doch ein wenig verzweifeln. Wäre super, wenn du mir meinen Denkfehler zeigen könntest.

MfG

09.05.2012, 13:12

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist prinzipiell nicht falsch, die Rechenschritte sind ja richtig. Löst man nach u auf, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{c^2x^2} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c^2} := \tilde c \end{eqnarray*}$ , hat man doch wieder

$\begin{eqnarray*} u = \frac{\tilde c}{x^2} \end{eqnarray*}$

und nach der Rücksubstitution wieder das gewünschte. Das ist ja im Prinzip der gleiche Schritt, den man auch bei der e-Funktion machen würde, wenn man $\begin{eqnarray*} e^C := c' \end{eqnarray*}$ neu setzt.

09.05.2012, 17:24

flippy 20

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man super danke mulder.

Sag mal, blöde Frage aber hast du beruflich oder im Studium mit Mathe zu tun?

09.05.2012, 18:11

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber noch eine frage, wie kommst du imer auf die Schleife über der Konstanten c und woher weiß man, dass c mit der schleife = 1/c^2?

09.05.2012, 18:15

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Die hab ich einfach so genannt. Das sind doch bloß beliebige (reelle) Konstanten, die kannst du auch Heinz-Gustav nennen, das ist völlig egal.

09.05.2012, 20:04

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

aha und was bedeutet die schleife über dem c? habe ich so noch nie gesehen.

09.05.2012, 20:06

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte: Ich hab es einfach so genannt. Die Schleife bedeutet rein gar nichts, sie dient nur der Unterscheidung,

10.05.2012, 14:21

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. trotzdem ist mir das nicht ganz einleuchtend. Ich würde niemals darauf kommen, das c so umzuschreiben, weil ich brauch die Gleichung im nächsten Schritt ja für die Variation der Konstanten weißt du. Kann ich die dann auch mit der c^2 Formel machen? I hope you understand my problem.:-)

10.05.2012, 14:35

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von flippy20
OK. trotzdem ist mir das nicht ganz einleuchtend. Ich würde niemals darauf kommen, das c so umzuschreiben, weil ich brauch die Gleichung im nächsten Schritt ja für die Variation der Konstanten weißt du.

Dann geb ich es auf.

Zitat:

Original von flippy20
Kann ich die dann auch mit der c^2 Formel machen?

Und wie willst du die Funktion, die da neu hinzukommt, dann nennen? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c^2(x)} \end{eqnarray*}$ oder wie?

10.05.2012, 15:40

flippy20

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke Mulder. nene, habs gecheckt. Das c MUSS ja alleine stehen. Oh man.
Vielen Dank du hast mir super geholfen.

Deine neue Frage habe ich abgetrennt und in die Hochschulmathematik verschoben. Für neue Fragen immer neue Threads eröffnen. Deinen neuen Thread findest du nun hier.

Mulder

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »