Untervektorraum bestimmen einer Matrix

08.05.2012, 21:37	klapper	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum bestimmen einer Matrix Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Teilaufgabe, bei der ich leider nicht weiß was ich machen soll, kann mich jemand mal an die Hand nehmen und führen? Es sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^{3} -> \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ gegeben durch die folgende darstellende Matrix $\begin{eqnarray} M_{B,B} (f) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei B die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ ist. Es sei $\begin{eqnarray} F:= \left\{ \left(x,y,z\right) \in \mathbb R _{3} : f(x,y,z)=(x,y,z)\right\} \end{eqnarray}$ die Menge der Fixpunkte von f. Bestimmen sie F(f). Meine Ideen: Ich habe leider keine Idee, was ich tun soll, die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, für die ich aber hier eine Antwort brauche. Also nicht falsch verstehen, ich will hier kein Ergebnis sehen, aber vielleicht kann mir einer sagen was ich machen muss. Tipp vom Tutor: Fv=1v
08.05.2012, 22:16	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum bestimmen einer Matrix Der Tipp unten bringt es ... $\begin{eqnarray} Ax=x=Ex \iff (A-E)x=0 \end{eqnarray}$ Rechts bestimmt man einen Kern ... bzw. löst ein homog. LGS
09.05.2012, 05:53	klapper	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum bestimmen einer Matrix und ich nehm jetzt einfach meine Matrix, mach nen GGleichungssystem und setze das dann gleich 1?
09.05.2012, 06:09	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum bestimmen einer Matrix Nein. - Du nimmst Deine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und überlegst, was $\begin{eqnarray} A-E \end{eqnarray}$ für ein homogenes Gleichungssystem ergibt.
09.05.2012, 09:17	klapper	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum bestimmen einer Matrix also muss ich nur [latex] A-E/latex] rechnen und ist das dann mein F(f)?
09.05.2012, 15:26	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum bestimmen einer Matrix Nein. - Das ist $\begin{eqnarray} F(f)= \rm{LGS}(A-E,0) = \rm{Kern}(f - 1_V) \end{eqnarray}$ Aber wie auch immer, rechne mal was vor, biete eine Lösung an, dann kann man prüfen, ob der Weg auch o.k. war. Hast Du schonmal ein Gleichungssystem gelöst ? Wir haben $\begin{eqnarray} \underbrace{A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\rm{und}\quad E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\implies\quad A-E~=~\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ Dies führt zu folgendem lin.Gleichungssystem ... $\begin{eqnarray} \rm{LGS}(A-E~\|~0)=\begin{array}{\|rrr\|r} x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline -1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 &0 \\\hline -1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ \hline -3 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ \hline -3 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ {\color{blue}1} & 0 & 0 &{\color{blue}1} \\ \hline 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}<br /> \end{eqnarray}$ Kannst Du damit was anfangen ? ____________ Edit: finaler Versuch ...
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