rotationsvolumen

08.05.2012, 22:46

sanddman

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rotationsvolumen

Meine Frage:
Hallo,

Bei der folgenden Aufgabe komme ich nicht weiter,

Gegeben sind die Funktionen:

$\begin{eqnarray*} <br /> f_{(x)} =& \frac{x^{3}-1}{x^{2}} <br /> g_{(x)} =& x<br /> \end{eqnarray*}$
Zeige dass das Volumen des Rotationskörpers der durch die beiden Funktionen bei Rotation um die x-Achse im Intervall $\begin{eqnarray*} [ 1... \infty [ \end{eqnarray*}$ endlich ist.

zum Anschauen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{(x^3-1)/x^2+,x},{x,0,5}]

Meine Ideen:
Rotationsvolumen der äusseren Funktion g(x) minus Rotationsvolumen der inneren Funktion f(x).

$\begin{eqnarray*} <br /> \pi \int \limits_{1}^{\infty} x^2 dx - \pi \int \limits_{1}^{\infty} (\frac{x^{3}-1}{x^{2}} )^{2} dx<br /> \pi (\int \limits_{1}^{\infty} x^2 dx - \int \limits_{1}^{\infty} (\frac{x^{3}-1}{x^{2}} )^{2} dx )<br /> \pi (\int \limits_{1}^{\infty} x^2 - (\frac{x^{3}-1}{x^{2}} )^{2} dx )<br /> = \infty<br /> \end{eqnarray*}$

Mit meiner Idee, hat der Rotationskörper also ein unendliches Volumen, kann mir jemand einen Tipp giben was ich falsch mache?

Die ganze Geschichte erinnert mich natürlich an das Gabriel Horn, wobei mir das auch nicht wirklich weiterhilft.

Vielen Dank für eure Hinweise

der Sandmann

08.05.2012, 23:24

hollisch

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Vielleicht hilft dir das weiter:

http://www.matheboard.de/archive/387145/thread.html

08.05.2012, 23:38

Cheftheoretiker

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Du hast richtig erkannt das du durch die gleichen Integrationsgrenzen die Integrale zusammenfassen kannst. Nun musst du allerdings auch noch die Integration durchführen. Die Betrachtung läuft dann auf eine Grenzwertuntersuchung raus.

08.05.2012, 23:57

hollisch

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also ganz ehrlich... ich komm auch auf unendlich:
$\begin{eqnarray*} \ldots = \pi \left(\int_1^\infty \left(x^2-\left(x-\frac{1}{x^2}\right)^2\right)\dd x \right)= \pi \left( \int_1^b\left( x^2-x^2+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^4}\right)\dd x\right) \end{eqnarray*}$
Als Stammfunktion kommt was mit $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ raus und der geht gegen unendlich, wenn die Obergrenze gegen unendlich geht.
Das ist schon ziemlich merkwürdig, wenn das Volumen tatsächlich endlich sein soll...

09.05.2012, 02:01

Mathe-Maus

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Bei der Volumenberechnung darf man NICHT die Differenzfunktion bilden !

LG Mathe-Maus Wink

Wink

09.05.2012, 09:28

Sanddman

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Hallo,

vielen Dank an alle Antworter! Überlegungen bis jetzt,

$\begin{eqnarray*} <br /> V =& \int \limits_{a} ^{b} g_{(x)}^{2} dx - \int \limits_{a} ^{b} f_{(x)}^{2} dx<br /> V =& \int \limits_{a} ^{b} g_{(x)}^{2} - f_{(x)}^{2} dx<br /> <br /> \text{und somit gilt für das Beispiel:}<br /> V =& \int \limits_{1} ^{\infty} x^{2} - \bigr( \frac{x^{3}-1}{x^{2}} \bigl)^{2} = \infty<br /> \end{eqnarray*}$

Das Lösungsbuch sagt aber:
$\begin{eqnarray*} <br /> V = \frac{\pi}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Auf Wiki bin ich auf die Guldin'sche Regel gestossen:
Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird.

Die eingeschlossene Fläche beträgt:
$\begin{eqnarray*} <br /> A =& \int \limits_{1} ^{\infty} g_{(x)} - f_{(x)} dx<br /> A =& \int \limits_{1} ^{\infty} x - \frac{x^{3}-1}{x^{2}} dx = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Könnte dies eine mögliche Erklärung sein. Natürlich tun sich dann 2 Probleme auf,
1. Ich kenne den Schwerpunkt des Körpers nicht.
2. Falls der Körper nicht 2 Volumina haben soll, muss in meinem ersten Ansatz ein Fehler stecken. verwirrt

verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe, Tipps und Tricks ...
Sandmann

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09.05.2012, 21:06

hollisch

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Also ich sehe in deiner Überlegung keinen Fehler. Ich hab diese Aufgabe heute von zwei weiteren Leuten (einer ist promovierter Mathematiker) prüfen lassen. Die kommen zumindest über die Formel
$\begin{eqnarray*} V=\lim_{b\to\infty}\pi\int_1^b \left(g^2(x)-f^2(x)\right)\dd x \end{eqnarray*}$ auch auf das Ergebnis: keine Konvergenz des uneigentlichen Integrals.
Ich hab mir die Guldiin'sche Regel mal angeschaut. Für den Flächeninhalt bekomme ich ebenfalls $\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$ heraus. Die Koordinaten des Schwerpunktes lassen sich allerdings nicht berechnen:
$\begin{eqnarray*} x_S = \lim_{b\to\infty}\frac{1}{A}\int_1^b x\cdot (g(x)-f(x))\dd x = \lim_{b\to \infty} \frac{1}{A} \int_1^b\frac{1}{x}\dd x = \lim_{b\to \infty}\frac{1}{A} \ln b \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Quelle der Formel: "Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler" von Papula

Ich wär schon fast davor zu behaupten, dass die angegebene Lösung falsch ist (kann auch mal vorkommen - wie z.B. die Tetraederaufgabe im Abi 2008 NRW: nicht lösbar laut Professoren der Uni Köln^^)

Ich bin allerdings auch nicht allwissend... vllt gibt's da auch was, was ich nicht kenne, womit es funktionieren würde...

Sorry, Sandmann

09.05.2012, 22:03

Mathe-Maus

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Ich habe mal gelernt, dass man bei der Volumenberechnung NICHT die Differenzfunktion bilden darf ....

Jetzt habe ich es trotzdem mit dieser Variante versucht und komme auf $\begin{eqnarray*} <br /> V = \frac{\pi}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Also d(x)=f(x)-g(x), dann Integral von 1 bis k. Anschließend k-> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

LG Mathe-Maus Wink

Wink

09.05.2012, 22:23

hollisch

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$\begin{eqnarray*} V=\pi\int_a^b\left(g^2(x)-f^2(x)\right)\dd x \neq \pi\int_a^b\left(g(x)-f(x)\right)^2\dd x \end{eqnarray*}$

Edit: Beispiel
$\begin{eqnarray*} &&g(x)= 4-4x, x\in[0,1]\\<br /> &&f(x)=2-2x,x\in[0,1]\\<br /> V=\pi\int_0^1 (g^2(x)-f^2(x))\dd x = 4 \neq \frac{4}{3}=\pi\int_0^1(g(x)-f(x))^2\dd x \end{eqnarray*}$

Der Rotationsradius der Differenzfunktion ist ein anderer. Vergleiche das Volumen eines Ringes mit einer kleinen Scheibe der gleichen Dicke bzw. Stärke.

09.05.2012, 22:42

Sanddman

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Hallo liebe Antworter,

ich glaube nun wirklich dass, in meinem Lösungsbuch ganz einfach ein Fehler steckt. Ich denke ich habe hier kompetentere Antwortern gekriegt Freude

Freude

Danke!

Sandman

09.05.2012, 22:51

Mathe-Maus

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@hollisch: [Der Rotationsradius der Differenzfunktion ist ein anderer.] Freude

Freude

Genau das sagt auch meine 1. Zeile aus ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ... vielleicht sind wir alle auch ein bissl blind ...

Aufgabe:
Zeige dass das Volumen des Rotationskörpers der durch die beiden Funktionen bei Rotation um die x-Achse im Intervall $\begin{eqnarray*} [ 1... \infty [ \end{eqnarray*}$ endlich ist.

Wenn man jetzt zeigt, das die FLÄCHE (hier Differenzfunktion) endlich ist, so ist natürlich auch das Rotationsvolumen endlich !

LG Mathe-Maus Wink

Wink

PS: Die Angabe $\begin{eqnarray*} <br /> V = \frac{\pi}{3}<br /> \end{eqnarray*}$ ist natürlich falsch, siehe vorhergehende Threads !

09.05.2012, 23:05

hollisch

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_S = \lim_{b\to\infty}\frac{1}{A}\int_1^b x\cdot (g(x)-f(x))\dd x = \lim_{b\to \infty} \frac{1}{A} \int_1^b\frac{1}{x}\dd x = \lim_{b\to \infty}\frac{1}{A} \ln b \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

ja, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist endlich, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{b\to\infty}x_S\longrightarrow \infty \implies A\cdot x_S \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

09.05.2012, 23:37

Mathe-Maus

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Meine Argumentation:
Wenn der Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven endlich ist, so ist auch das Rotationsvolumen endlich.

Die Guldin'sche Regel sowie deren Randbedingen kenne ich zu wenig, um über die Richtigkeit der angegebenen Formel und der eingesetzen Werte eine Aussage zu treffen ...

Für den Schulgebrauch dürfte meine o.g. Argumentation ausreichen ...

@hollisch: Solltest Du Dich mit der Guldinschen Regel sehr gut auskennen, so lasse ich mich gern vom Gegenteil überzeugen ... (bloßes Kopieren eines vorhergehenden Threads ist allerdings nicht ausreichend Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

LG Mathe-Maus Wink

Wink

09.05.2012, 23:52

hollisch

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Das ist es ja, was mich am meisten wundert: solche Aufgaben in der Schule???^^

Die Guldin'sche Regel besagt, dass das Volumen eines Rotationskörpers gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt des rotierenden Flächenstücks, das diesen Körper erzeugt, und dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt des Flächenstücks bei der Rotation beschreibt.
In unserem Fall angewendet:
$\begin{eqnarray*} V=2\pi d(x_S) A, \text{mit }d(x)=g(x)-f(x) \end{eqnarray*}$
Die Berechnung des Schwerpunktes erweist sich jedoch als problematisch, da dieser keinen endlichen Wert hat. Deshalb hat das Volumen auch keinen endlichen Wert, obwohl der Flächeninhalt A endlich ist.

10.05.2012, 00:00

Mathe-Maus

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Anhand meiner Skizze siehst Du jedoch, dass der Schwerpunkt der Fläche einen endlichen Wert hat.

Wie genau man diesen berechnet, weiß ich nicht.
Also muss der Knackpunkt beim Anwenden der Guldinschen Regel liegen ...

LG Mathe-Maus Wink

Wink

10.05.2012, 00:10

hollisch

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Richtig^^
ich glaub genau da liegt der Knackpunkt. Auch wenn man glaubt, dass der Schwerpunkt laut deines Plotts einen endlichen Wert hat, die Berechnung zeigt, dass es leider nicht so ist (siehe Berechnung für $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ ).

Auch die Differenzfunktion geht bis ins unendliche, nur ist die Fläche dort so klein, dass der Flächeninhalt grade gegen 1 konvergiert.

Manchmal ist die Mathematik fies und spielt mit unserer Intuition einen Streich... ich hab auch anfangs gedacht, dass das Volumen endlich ist, bis die Berechnung das Gegenteil gezeigt hat -.-

Hat aber trotzdem Spaß gemacht drüber zu argumentieren Freude

Freude

LG hollisch Wink

Wink

10.05.2012, 00:36

hollisch

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Am besten wäre es, du berechnest den Schwerpunkt selbst. Die Formel lautet dafür
$\begin{eqnarray*} x_S = \frac{1}{A}\int_a^bx\cdot d(x)\dd x\quad, d(x)=g(x)-f(x) \end{eqnarray*}$
A ist die Fläche der Differenzfunktion. Der Radius, da um die x-Achse rotiert wird, ist folglich $\begin{eqnarray*} d(x_S) \end{eqnarray*}$ . Du solltest o.a. Ergebnis für $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ bekommen.

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