Subadditivität bei Vektornorm

08.05.2012, 23:26	Makingta	Auf diesen Beitrag antworten »
Subadditivität bei Vektornorm Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} V=C^0\left([0,1]\right) \end{eqnarray}$ der Vektorraum der stetigen Funktionen $\begin{eqnarray} f:[0,1]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Das Skalarprodukt sei definiert durch $\begin{eqnarray} (f,g):=\int_0^1 \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray}$ . Ich muss nun nachweisen, dass $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_2:=\sqrt{(f,f)} \end{eqnarray}$ eine Norm ist. Meine Ideen: Die Definitheit und Homogenität zu zeigen, war kein Problem. Allerdings hab ich ein kleines Problem bei der Subadditivität $\begin{eqnarray} \|\|f+g\|\|_2=\sqrt{(f+g,f+g)} =\sqrt{\int_0^1 \! (f(x)+g(x))(f(x)+g(x)) \, dx } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{\int_0^1 \! f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x) \, dx } \end{eqnarray}$ Und zwischen den beiden Teilen bekomm ich die Abschätzung $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ nicht hin $\begin{eqnarray} \sqrt{\int_0^1 \! f^2(x) \, dx }+\sqrt{\int_0^1 \! g^2(x) \, dx }= \sqrt{(f,f)}+\sqrt{(g,g)}= \|\|f\|\|_2+\|\|g\|\|_2 \end{eqnarray}$ EDIT(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite auszugleichen.
09.05.2012, 17:27	Makingta	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subadditivität bei Vektornorm Hat denn jemand zumindest einen kleinen Tipp, wie der nächste Schritt aussehen könnte?
09.05.2012, 17:52	Schildhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
guck dir mal an ob du da eine binomische FOrmel siehst, falls ja dann must du noch zeigen dass du das dann irgendwie mit der äußeren Wurzel hinkriegst.
09.05.2012, 18:16	Makingta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{\int_0^1%20\!%20f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x)%20\,%20dx%20}=\sqrt{\int_0^1 \! \left[f(x)+g(x)\right]^2 \, dx } \end{eqnarray}$ Aber das Quadrat steht ja leider noch unterm Integral, deshalb tu ich mir noch immer schwer.
09.05.2012, 18:22	Schildhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß nicht ob das so klappt aber guck dir mal das Riemann integral an, so sollte man eigentlich an eine Abschätzung gelangen können.
09.05.2012, 18:32	Schildhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchs mal mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung, falls es damit nicht klappt habe ich auch keine Idee
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