Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)

08.05.2012, 23:40

steviehawk

Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich muss die Funktion $\begin{eqnarray*} f: [-\pi,\pi) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = cosh(ax) \end{eqnarray*}$ in eine Fourierreihe entwickeln.

Erstes Problem: Ich dachte diese Entwicklung macht man für periodische Funktionen, aber der cosh(ax) ist doch nicht periodisch, zumindest nicht im reellen. Er ist lediglich gerade.

Meine Ideen:
Ansonsten kann man da ja nach Schema f vorgehen, ich werde auch noch ein Lösungsweg posten, wenn ich mein Problem geklärt habe..

Danke

09.05.2012, 05:31

SusiQuad

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RE: Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)
$\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ ist gerade und lässt sich deshalb auf jedes symm. Intervall $\begin{eqnarray*} [-a,+a] \end{eqnarray*}$ stetig, periodisch fortsetzen. Dies sichert die Konvergenz der aufgestellten F.Reihe.

Beachte ferner, dass Du $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ nicht über $\begin{eqnarray*} \mathbb D_{f}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ zu betrachten hast, sondern über $\begin{eqnarray*} [-\pi,+\pi] \end{eqnarray*}$ . Mit der obigen Aussage bist Du sicher, dass die F.Reihe eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} [-\pi,+\pi] \end{eqnarray*}$ bis auf die Endpunkte glm. gegen $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ konv.

09.05.2012, 11:02

steviehawk

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RE: Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)
Danke.. ich habe die rechte Grenzen jetzt offen, so steht es in der Aufgabe...

Dann mach ich mich mal an den Lösungsweg und poste dann was ich habe zur Kontrolle! Danke smile

So ich habe jetzt noch eine Frage:

Um diese Fourierreihe zu entwickeln finde ich verschiedene Formeln, vorallem was die Grenzen des Integrals angeht und den Faktor davor: Also ich verwende jetzt mal diese. Warum gibt es da so viele?

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty a_n cos(nx) + b_n sin(nx) \end{eqnarray*}$

für eine beliebige periodische Funktion verwende ich doch:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi } \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\pi } \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\pi } \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt bestimme ich die Faktoren und setze alles mal zusammen..

09.05.2012, 12:00

steviehawk

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RE: Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)
für die Fourierreihe bekomme ich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{sinh(\pi a)}{\pi a} + \frac{2a\cdot sinh(\pi a)}{\pi} \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{a^2+n^2} \end{eqnarray*}$

wir sollen im 2ten Teil $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{a^2+n^2} \end{eqnarray*}$

daher Frage ich mich ob meine Reihe stimmt?

Danke für die Korrektur

09.05.2012, 14:22

Valdas Ivanauskas

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RE: Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)
Die Summanden der Reihe waren nicht ganz vollständig.
So sollte es passen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sinh(\pi a)}{\pi a} + \frac{2a \sinh(\pi a)}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{a^2+n^2}\cos(nx). \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von steviehawk
wir sollen im 2ten Teil $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{a^2+n^2} \end{eqnarray*}$

Falls im 2. Teil der Wert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{a^2+n^2} \end{eqnarray*}$

berechnet werden soll, dann kannst Du das mit obigem Resultat bequem erledigen.

09.05.2012, 19:08

SusiQuad

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RE: Fourierreihe von f(x) = cosh(ax)
(Offtopic)

Zitat:

Grenzen des Integrals angeht und den Faktor davor: ... Warum gibt es da so viele?

Die Grenzen des Integrals sind die des Intervalles, hier $\begin{eqnarray*} [-\pi,+\pi] \end{eqnarray*}$

Eselsbrücke für die Faktoren: Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ approximiere, muss die Fourier-Darstellung doch $\begin{eqnarray*} 1 + \sum 0+0 \end{eqnarray*}$ sein, oder ?!

Und damit hat man ... $\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2}\int_{-p}^{+p} 1\; \rm{dt} = 1 = \frac{a_0}{2} \cdot 2p \iff \frac{a_0}{2}= \frac{1}{2p} \end{eqnarray*}$

Btw: Der hier hatte eine vergleichbare Aufgabe ...

Wink

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