Differentialrechnung: Abstand zwischen Punkt und Ebene / Gerade und Kugel berechnen

09.05.2012, 10:40	Findus2	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung: Abstand zwischen Punkt und Ebene / Gerade und Kugel berechnen Meine Frage: Hallo, ich brauche eure Hilfe: Wie kann ich mit Hilfe der Differentialrechung den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene oder den Abstand zwischen einer Kugel und einer Geraden berechnen? Meine Ideen: Ich habe oft gelesen, dass das gar nicht möglich ist und die Aufgabe nur mit der Linearen Algebra zu lösen ist. Stimmt das?
09.05.2012, 13:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Abstandquadrat zwischen zwei Punkten $\begin{eqnarray} (p_1\|p_2\|p_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_1\|x_2\|x_3) \end{eqnarray}$ soll minimiert werden, also die Größe $\begin{eqnarray} A^2=(x_1-p_1)^2+(x_2-p_2)^2+(x_3-p_3)^2 \end{eqnarray}$ Dabei gilt die Nebenbedingung, dass der Punkt $\begin{eqnarray} (x_1\|x_2\|x_3) \end{eqnarray}$ auf einer Ebene liegt. Angenommen diese Ebene steht senkrecht auf dem Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ und der Abstand der Ebene vom Nullpunkt ist a. Dann lautet die Gleichung dieser Ebene bekanntlich $\begin{eqnarray} \vec n \cdot \vec x=a \end{eqnarray}$ Minimiere also die obere Funktion mit dieser Nebenbedingung und verwende dabei die Methode mit dem Lagrangeschen Multiplikator.
09.05.2012, 15:56	Findus2	Auf diesen Beitrag antworten »
Können sie mir das mit einem Beispiel näher erläutern?
09.05.2012, 17:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist hier nicht möglich, ganze Stoffgebiete zu erläutern, mit denen du dich leider noch gar nicht beschäftigt hast. Das eigene Lernen können wir nicht ersetzen. Bitte lies selbst nach über das Gebiet "Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen für Funktionen mit mehreren Variablen". Viel Erfolg!

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