Kann man alle Gleichungen lösen?

25.01.2007, 12:29

niccle

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Kann man alle Gleichungen lösen?

Ich wusste nicht wo ich es hätte sonst reinschreiben sollen, deshalb habe ich mich für das hier entschieden.

Man sagt ja immer das man Gleichungen mit einer unbekannten lösen kann. da hab ich mir mal die Frage gestellt was ist denn mit der hier, kann man die auch exakt lösen:

$\begin{eqnarray*} x^x=25 \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 12:44

Ny

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Nein, man nicht alle Gleichungen mit nur einer unbekannten schriftlich (algebraisch) lösen. Bei solchen Sachen wie dein Beispiel geht das nur numerisch. Zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren.
Anbei ist die Lösung deiner Gleichung etwa an der Stelle x=2,963219775 zu finden.

25.01.2007, 12:47

niccle

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Das ist dóch aba blöd. Obwohl nur eine unbekannte in der Gleichung ist, kann ich die Aufgabe nur mit Annäherungsverfahren lösen

25.01.2007, 12:48

Ny

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Ich könnte mir auch schöneres vorstellen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2007, 15:19

niccle

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vielleicht gibt es ja doch ein verfahren, was wir beide nicht kennen.

denn man bekommt ja auch gelernt das man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann

Ich kann mir das einfach nicht vorstellen, das muss doch zu lösen sein

25.01.2007, 15:31

brain man

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Zitat:

denn man bekommt ja auch gelernt das man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann
Ich kann mir das einfach nicht vorstellen, das muss doch zu lösen sein

$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Das geht also...

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25.01.2007, 15:35

AD

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Zitat:

Original von niccle
Ich kann mir das einfach nicht vorstellen, das muss doch zu lösen sein

Hat ja auch keiner behauptet, dass es nicht geht. Nur eben nicht durch einen endlichen Term mit nur rationalen Zahlen, den Grundrechenarten, Potenzen, Logarithmen und all den anderen "normalen" Funktionen, die du aus der Schule kennst.

25.01.2007, 15:44

Leopold

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@ niccle

Stochastiker werden dir wahrscheinlich sagen, daß die Menge der "lösbaren Gleichungen" im "Meer der Gleichungen" eine Nullmenge darstellt.

Um es weniger bildlich auszudrücken: Es ist der Normalfall, daß eine Gleichung mit gängigen algebraischen Umformungen nicht gelöst werden kann.

Da man in der Schule meistens nur die Fälle behandelt, wo die explizite Berechnung der Lösungen möglich ist, entsteht der falsche Eindruck, es müsse immer so sein. Das Gegenteil jedoch ist richtig.

Der Traum von der "Weltformel" ist alt. Schon Leibniz, der das Konzept einer binären Rechenmaschine entwickelte, sozusagen ein gedanklicher Vorläufer unseres heutigen Computers, hatte die Vision, man könne eine Maschine bauen, die es einem erlaube, jede mögliche wissenschaftliche Frage durch eine Rechnung entscheiden zu lassen. Viel daraus geworden ist nicht ...

25.01.2007, 18:14

niccle

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Naja, okay vielleicht habt ihr recht.
Aber es ist schon schwer vorstellbar für mich wenn ich so eine "einfache" Gleichung habe die ich nicht lösen kann. Das will mir irgendwie nicht in den Kopf. Hammer

Hammer

Unsere Mathematiklehrer predigen immer, man kann aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen. Dabei ist das doch totaler blödsinn. JA, ja einige von euch werden jetzt sagen sie wollen uns nicht verwirren, aber ich mein da bist du im Unterricht und willst so viel wissen und verstehen und die Lehrer sagen einfach "nein geht nicht" oder "du kannst das noch nicht" oder "damit beschäftigen wir uns nicht".

Ich werde mich mit eurer Antwort zu frieden geben. Vielen Dank

25.01.2007, 18:28

AD

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Zitat:

Original von niccle
Unsere Mathematiklehrer predigen immer, man kann aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen. Dabei ist das doch totaler blödsinn.

Nein, ist es nicht - im Kontext der reellen Zahlen ist das nun mal richtig. Bloß weil du jetzt mal was von komplexen Zahlen gehört hast, kannst du nicht alle Aussagen, die sich explizit auf das Rechnen innerhalb $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bezogen haben, als "Blödsinn" bezeichnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2007, 18:56

niccle

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ich bezeichne es nur als Blödsinn was meine Lehrerin sagt, weil wenn sie sagt das man aus einer negativen ZAhl die Wurzel nicht ziehen kann, dann muss sie meiner Meinung nach auch den Definitionsbereich eingrenzen. Wenn sie das hingegen nicht tut, (was sie nie macht) dann bezeichne ich es als Blödsinn.

25.01.2007, 19:44

Leopold

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Wenn ich Fünftkläßler vor mir habe, dann sage ich denen auch, die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3 \cdot x = 4 \end{eqnarray*}$ habe keine Lösung. Und ich habe nicht die Spur eines schlechten Gewissens dabei. Heute hatte ich aber einen Superschlauen, der mir etwas von $\begin{eqnarray*} 1,\bar{3} \end{eqnarray*}$ erzählte. Natürlich habe ich ihm da nicht gesagt, das ist falsch, sondern nur: Das sind aber Kommazahlen, die wir im Moment noch nicht als Lösungen nehmen wollen, bis wir das im Unterricht genauer besprochen haben. Und bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} 7 \cdot x = 4 \end{eqnarray*}$ wußte er dann auch nicht mehr weiter.

25.01.2007, 22:02

Dorika

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Big Laugh

das ist gemein
also kämpft man sich in der mathematik sozusagen nach und nach vor...?

25.01.2007, 22:21

Frooke

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RE: Kann man alle Gleichungen lösen?
Sorry, ich nerve wieder mal mit LW smile

smile

:

$\begin{eqnarray*} x^x=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\ln x=\ln 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln x \mathrm e^{\ln x}=\ln 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln x =\mathrm W(\ln 25) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =\exp\left(\mathrm W(\ln 25)\right)=\frac{\ln 25}{\mathrm W(\ln 25)} \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 22:29

Schnarch

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Zitat:

Nein, man nicht alle Gleichungen mit nur einer unbekannten schriftlich (algebraisch) lösen. Bei solchen Sachen wie dein Beispiel geht das nur numerisch. Zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren.

also die gleichung $\begin{eqnarray*} x^{2}=a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als fester zahl löst man im prinzip auch nur "numerisch".
Die Werte der Wurzelfunktion werden "numerisch" (mittels Intervallschachtelung) ermittelt.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{2}=a \end{eqnarray*}$ kann man also lösen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}}=\sqrt{a}\Rightarrow x=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

Der Wert $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ wird dann numerisch ermittlet, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht gerade eine Quadratzahl (Quadrat einer ganzen Zahl) ist.
(dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nur eine der Lösungen ist, ist sicherlich jedem bekannt)

Genauso könnte ich eine Funktion definieren, mit der man die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{x}=a \end{eqnarray*}$ lösen kann, ich nenne Sie einfach mal $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\mathrm{schnarch}\,{x} \end{eqnarray*}$ .
Ich definiere die Schnarchfunktion als Umkehrfunktion für die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{x} \end{eqnarray*}$ (für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ), die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{x}=a \end{eqnarray*}$ kann ich dann jetzt folgendermaßen lösen:

$\begin{eqnarray*} x^{x}=a \Rightarrow \mathrm{schnarch}\,{\left(x^{x}\right)}=\mathrm{schnarch}\,{a} \Rightarrow x=\mathrm{schnarch}\,{a} \end{eqnarray*}$

Theoretisch könnte man einen Taschenrechner bauen, der den Wert $\begin{eqnarray*} \mathrm{schnarch}\,{a} \end{eqnarray*}$ für alle positiven $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ermittlet.

Man kann den Wert auch von Hand mittels Intervallschachtelung bestimmen.

Achja, für deine Gleichung ist die Lösung
$\begin{eqnarray*} x=\mathrm{schnarch}\,{25}\approx2{,}963219775 \end{eqnarray*}$

mittels Intervallschachtelung erhält man

$\begin{eqnarray*} 2{,}963219774<x<2{,}963219775 \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 22:30

Ny

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Warum denn nerven? Ich freue mich jedes Mal auf's neue wenn ich hier etwas mit der W-Funktion lese, denn eigentlich wollte ich darüber mal eine Facharbeit schreiben.
Dankeschön. Freude

Freude

26.01.2007, 15:03

Leopold

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Zitat:

Original von Schnarch
Ich definiere die Schnarchfunktion als Umkehrfunktion für die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{x} \end{eqnarray*}$ (für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ), die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{x}=a \end{eqnarray*}$ kann ich dann jetzt folgendermaßen lösen:

$\begin{eqnarray*} x^{x}=a \Rightarrow \mathrm{schnarch}\,{\left(x^{x}\right)}=\mathrm{schnarch}\,{a} \Rightarrow x=\mathrm{schnarch}\,{a} \end{eqnarray*}$

Bei aller Kreativität! Wollen wir doch etwas sorgfältiger sein! Beachte, daß deine $\begin{eqnarray*} \operatorname{schnarch} \end{eqnarray*}$ -Funktion zwei verschiedene Zweige hat (einmal rein reell betrachtet). Sind wir also genauer und stellen zunächst fest:

$\begin{eqnarray*} f: \ \ \left[ \operatorname{e}^{-1} , \infty \right) \to \left[ \operatorname{e}^{- \operatorname{e}^{-1}} , \infty \right) \, , \ \ x \mapsto x^x \end{eqnarray*}$

ist injektiv. Die Umkehrfunktion bezeichnen wir dann mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{schnarch} \end{eqnarray*}$ .

27.01.2007, 16:34

Schnarch

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Leopold, den mussteste jetzt aber rauslassen, was??

Hammer

Hammer

naja, ich hab ja nicht festgelegt, dass meine Funktion schnarch jedem x höchstens einen Wert f(x) zuordnen soll, von daher braucht die Urfunktion auch nicht injektiv zu sein.

Ich weiß, dass es üblich ist, nach deiner methode vorzugehen, und weiß außerdem, dass mein beitrag mathematisch etwas oberflächlich ausgefallen ist, könnte mir aber vorstellen, dass er für einige leute hilfreicher sein könnte als deiner.

Klo

Klo

28.01.2007, 13:38

Frooke

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Zitat:

Original von Schnarch
ich hab ja nicht festgelegt, dass meine Funktion schnarch jedem x höchstens einen Wert f(x) zuordnen soll, von daher braucht die Urfunktion auch nicht injektiv zu sein.

Dein Beitrag ist anschaulich und zeigt auch auf, wie man solche Probleme lösen kann, aber mit obigem Satz widersprichst Du Dir selbst: Eine Funktion ist ja gerade so DEFINIERT, dass jedem x Wert genau ein Wert f(x) zugeordnet ist. Und weil die partielle Umkehrung gerade so gut geht, hat Leopold durchaus recht, dass das eben etwas sorgfältiger geht...

04.02.2007, 18:39

Schnarch

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klar hat leopold recht!!! Freude

Freude

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