Signifikanztest

25.01.2007, 12:35	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Signifikanztest Also, wir haben gestern ne Schulaufgabe in Mathe rausgekriegt und mein Lehrer und ich werden uns über eine Aufgabe nicht einig. Vielleicht könnt ihr euch meinen Lösungsweg mal anschaun und dann sagen, ob er wirklich sooo abwegig ist? Die Aufgabe lautet: Eine Waschmittelfirma behauptet, dass höchtens 4% der von ihr vertriebenen 4,8kg-Pakete weniger als die angegebene Menge enthalten. Das zuständige Eichamt will diese Behauptung nur akzeptieren, wenn in einer Stichprobe von 500 Paketen höchstens k Pakete mit weniger als 4800g Waschpulver enthalten sind. Bestimme den zum Signifikanzniveau 1% gehörenden Annahmebereich. Meine Überlegungen: Das Signifikanzniveau ist als die Obergrenze der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art (lehne Hypothese ab obwohl sie stimm) definiert. Die Hypothese lautet: Höchstens 4% der Pakete haben zu wenig Inhalt. Außerdem fängt mein Annahmebereich bei 0 an, weil wenig zu leichte Pakete gut sind. Dann ist k die obere Grenze meines Annahmebereichs. Damit krieg ich dann P( X > k) [ $\begin{eqnarray} p\leq4% \end{eqnarray}$ , n=500] $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ P (X > k) [p=4%, n=500] = ... $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1% Damit krieg ich dann k=30. Die Argumentation von meinem Lehrer lautet in etwa wie folgt: Meine Lösung kann gar nicht stimmen, weil 30/500=6% viel größer ist als 4% und damit würde das Eichamt seine Genehmigung wahrscheinlich auch erteilen, wenn mehr als 4% (z.B. 5%) aller Pakete zu leicht sind. Er schlägt deshalb vor, die 1% auf der anderen Seite der Wahrscheinlichkeitsverteilung abzuschneiden und kriegt dann k=9. (0-9 als Annahmebereich) Meine Kritik an der Argumentation meines Lehrers: Er argumentiert mit dem Fehler 2. Art, aber der ist ja erstmal fürs Signifikanzniveau irrelevant. Außerdem ergibt seinen Annahmebereich ein Signifikanzniveau von 99%, weil ich für p=4% die Hypothese in 99% der Fällen ablehnen würde. Außerdem ist es ja offensichtlich, dass ein geringes Risiko für einen Fehler 1. Art (niedriges Signifikanzniveau) zu einem großen Risiko für einen Fehler 2. Art führt und umgekehrt, aber alles, was die Aufgabenstellung fordert, ist ein Signifikanzniveau von 1%. Deshalb versteh ich nicht, wieso mein Lehrer (wegen dem Praxisbezug) mit dem Fehler 2. Art argumentieren darf und meine Lösung als KOMPLETT falsch abstempelt. Wer von uns beiden hat nun Recht?
25.01.2007, 18:48	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signifikanztest Hallo! Eigentlich ganz einfach, ich finde die Aufgabe sogar recht schön... Wir fangen mal vorne an und lösen kannst du es dann selber, indem du rückwärts rechnest. Deine Nullhypothese ist: $\begin{eqnarray} \theta=\theta_0=0,04 \end{eqnarray}$ (Anteilswert 4%), deine Alternativhypothese ist: $\begin{eqnarray} \theta>\theta_0=0,04 \end{eqnarray}$ (einseitig). Die Verteilung ist approximativ die Normalverteilung, da $\begin{eqnarray} n\cdot\theta\cdot(1-\theta)=19,2\geq9 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \frac{n}{N}\to0<0,05 \end{eqnarray}$ , also folgt für die Varianz unter Gültigkeit der Nullhypothese: $\begin{eqnarray} \sigma_\theta^2=\frac{\theta\cdot(1-\theta)}{n}=0,0000768 \end{eqnarray}$ . Die Prüfgröße des Tests ist $\begin{eqnarray} Z=\frac{P-\theta_0}{\sigma_\theta}=\frac{P-0,04}{\sqrt{0,0000768}} \end{eqnarray}$ . Die Nullhypothese ist genau dann abbzulehnen, wenn die Prüfgröße größer als die kritische Größe wird, für $\begin{eqnarray} \alpha=0,01 \end{eqnarray}$ ist dies $\begin{eqnarray} 2,33 \end{eqnarray}$ (Standardnormalverteilung), also muss $\begin{eqnarray} \frac{P-0,04}{\sqrt{0,0000768}}>2,33 \end{eqnarray}$ gelten. Und nun ist nur noch die Frage, für welches $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ diese Ungleichung gerade erfüllt ist.
25.01.2007, 21:02	cih	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal kurz in meinen Taschenrechner getippt kommt etwa P > 6% raus und das ist das, was ich auch schon hatte... Eigentlich weiß ich ja, wie ich's rechnen muss (glaub ich zumindest). Es geht hier ja "nur" um eine Meinungsverschiedenheit mit meinem Lehrer und da reicht es mir eigentlich, wenn ihr für meine Lösung oder die Lösung meines Lehrers stimmt, ohne gleich eine ganze Rechnung dranzuhängen. Im Moment steht's 1:0 für meine Lösung. Will vielleicht noch jemand anders was dazu sagen?
25.01.2007, 22:39	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
http://img262.imageshack.us/img262/7488/binomvert14zq.gif
25.01.2007, 22:46	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - http://img262.imageshack.us/img262/7488/binomvert14zq.gif - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
25.01.2007, 22:55	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Board funktioniert nicht richtig. Jetzt zeigt es 0 Antworten an.
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26.01.2007, 00:19	cih	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll mir die Tabelle sagen, dass du der Meinung bist, dass man das eine Prozent in der Binomialverteilung von links abschneiden sollte (wie mein Lehrer) anstatt von rechts (wie ich)?
26.01.2007, 01:25	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das Problem mal aufzuklären: Bei diesen Signifikanztests gibt es nur eine interessante Sache: WIE wähle ich meine Hypothesen, sprich auf wessen Seite steh ich: Also die Formalitäten vorneweg: $\begin{eqnarray} H_0 : p \leq 0,04 \qquad H_1 : p > 0,04\qquad \Longrightarrow k=30 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_0 : p > 0,04 \qquad H_1 : p \leq 0,04\qquad \Longrightarrow k=10 \end{eqnarray}$ Jetzt muss man sich aber in irgendeiner Weise auf die Realität beziehen. Da die Firma sich einer Fremdprüfung unterzieht, stehen wir ihrer Behauptung sehr kritisch gegenüber. Grundsätzlich wählt man zu überprüfende Hypothesen immer als $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , weil man kann mit einer Angabe von Wahrscheinlichkeiten nix beweisen, man kann aber zeigen, dass das Gegenteil unwahrscheinlich ist. Im konkreten Fall wollen wir also Schaden (für den Verbraucher) vermeiden, indem wir den ungünstigen Fall so gut wie möglich als unwahrscheinlich abstempeln. Somit hat dein Lehrer recht, mit dem (wichtigen) Argument des Praxisbezugs.

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