2 Punkte auf Ebene mit festem Abstand

09.05.2012, 18:51	Sevenon2	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Punkte auf Ebene mit festem Abstand Meine Frage: Hey, bin schon seit Stunden mittlerweile an einer Aufgabe gefangen und weiß einfach nicht wie ich da jetzt weiterkommen, ich hoffe jemand kann mir ein wenig Hilfestellung geben. Die Aufgabenstellung lautet: Eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius 3 berührt die Ebene E (x1 + 2x2 + 2x3 -36=0) im Punkt P. P: (8;6;8). Dabei liegt M auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung. Bestimme die Koordinaten von M. Der Punkt L liegt auf der Gerade durch P und M auf der gleichen Seite der Ebene E wie der Punkt M und hat von E den Abstand 8. Die Tangenten, die von L aus an die Kugel gelegt werden können, schneiden die Ebene E in einem Kreis. Berechne den Radius r' dieses Kreises. Der letzte Teil der Aufgabe macht mir nun Probleme und ich weiß nicht wie ich da wirklich vorgehen soll. Danke für Hilfe. lg Meine Ideen: Also für den Mittelpunkt hab ich den Radius in die HNF der Ebene eingesetzt und bin dann zu (9;8;10) für M gekommen. Punkt L habe ich auf gleichem Weg bestimmt und bin auf (32/3; 34/3; 40/3) gekommen.
09.05.2012, 19:37	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Punkte auf Ebene mit festem Abstand Vielleicht hilft Dir dieses Schnittbild zu einer ganz einfachen Überlegung. Es zeigt die Situation mit Blickrichtung parallel zur Ebene. So kann man aus einem 3D- ein 2D-Problem machen. [attach]24441[/attach] Du kennst ja alle Abstände, die zur Berechnung des gleichschenkeligen Dreiecks nötig sind. Wo der gesuchte Radius des Kreises ist, solltest Du erkennen.
09.05.2012, 19:59	Sevenon2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist auf jeden fall eine immense Erleichterung aber fehlt mir nicht eine unbekannte? weil an sich könnte ich ja rechnen A = 1/3 G*H, wobei ich ja an sich nur die Höhe kenne, oder stelle ich mich gerade extrem dumm an?
09.05.2012, 20:06	Sevenon2	Auf diesen Beitrag antworten »
wobei mir gerade wieder was eingefallen ist, in einem gleichseitigem Dreieck kann man ja aufgrund der Höhe die Seitenlänge ausrechnen Vielen, Vielen Dank
09.05.2012, 20:13	Sevenon2	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich war vll etwas vorschnell und hab gleichschenklig falsch gelesen :/ dabei wär ja wieder das Problem, dass ich Flächeninhalt bräuchte oder?
09.05.2012, 20:25	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Flächeninhalt steht nicht an erster Stelle. Wenn Du das große Dreieck entlang der Strecke PL teilst, erhältst Du zwei rechtwinkelige Dreiecke, in denen die Strecke PL bekannt ist. Jetzt heißt es, ein ähnliches Dreieck zu finden. Ist nicht schwer, ich habe es ja eingezeichnet. Der Radius der Kugel steht rechtwinkelig auf die zugehörige Tangente, daher ist das Dreieck M-L-Berührpunkt rechtwinklig und hat mit dem anderen rechtw. Dreieck den Winkel in L gemeinsam. Dieser Winkel läßt sich leicht berechnen.
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09.05.2012, 21:11	Sevenon2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub so langsam bin ich mit meinen Nerven und allem am Ende.. Dass ich dann den Winkel bei L rausbekomm wär ja dann sin( $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) = r/ML Ist das überhaupt noch richtig und wenn ja, was mach ich dann damit?
09.05.2012, 22:54	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Winkel ist richtig, und den musst natürlich nutzen. Betrachte das große rechtwinklige Dreieck; davon kennst Du ja Strecke PL und jetzt noch einen Winkel. Mit einem Winkelsatz aus dem rechtw. Dreieck kommst Du direkt zum Radius des Kreises.

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