ohne angabe von x(0) differenzenquotienten bestimmen???

07.07.2004, 20:06	Andorphine	Auf diesen Beitrag antworten »
ohne angabe von x(0) differenzenquotienten bestimmen??? Hallo! ich habe hier eine aufgabe vor mir liegen, die ich irgendwie nicht verstehe. sie lautet: "Bestimme von der Funktion f(x)= 3/x³ die Ableitungsfunktion mittels Grenzwertbildung des Differenzenquotienten mit der "x"-Methode." nun weiss ich nicht wie ich bei dieser aufgabe vorgehen soll. am meisten irritiert mich das x(0) nicht gegeben ist. wie kann ich die aufgabe lösen?? Danke!
08.07.2004, 11:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! $\begin{align} x_o \end{align}$ braucht nicht fest gegeben sein, es kann überall im Def.Intervall liegen, wir nehmen es einfach allgemein einmal als gegeben an (und lassen dann x gegen $\begin{align} x_o \end{align}$ gehen). Der Differenzenquotient ist dann lt. $\begin{align} \frac{f(x) \ - \ f(x_o)}{x \ - \ x_o} \end{align}$ gleich $\begin{align} \ = \ \frac{(\frac{3}{x^3} \ - \ \frac{3}{x_o^3})}{x - x_o} \ = \end{align}$ umformen zu $\begin{align} \ = \ \frac{-3(x^3 - x_o^3)}{(x - x_o) \cdot x^3x_o^3} \ = \end{align}$ kürzen durch (x - x0) ergibt $\begin{align} \ = \ \frac{-3(x^2 + xx_o + x_o^2)}{x^3x_o^3} \end{align}$ Nun machen wir vom Differenzenquotienten den Grenzübergang von x gegen x0 oder auch x0 gegen x, weil x0 und x gleichwertig sind und die Ableitungsfunktion (in der Variablen x) ermittelt werden soll (setze statt x0 gleich x): Ableitungsfunktion (Differentialquotient) *$\begin{align} \lim_{x_o \to x} \frac{-3(x^2 + xx_o + x_o^2)}{x^3x_o^3} \ = \ \frac{df(x)}{dx} \ = \ f '(x) \ = \ - \ \frac{33x^2}{x^6} \ = \ - \ \frac{9}{x^4} \end{align}$** Gr mYthos
08.07.2004, 17:40	Shopgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Andorphine und mYthos, wichtig ist noch, dass tatsächlich dieser Grenzwert bestimmt wird: $\begin{align} \lim_{x_o \to x} \frac{-3(x^2 + xx_o + x_o^2)}{x^3x_o^3} \end{align}$ und nicht etwa mit Hilfe anderer Rechenregeln die Ableitung bestimmt wird - denn diese Ableitung ist ja gerade, was gesucht ist.

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