Bedingte Erwartung

25.01.2007, 13:55	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Erwartung Wie zeig ich ,dass $\begin{eqnarray} E(X_1\|S_n)=\frac{S_n}{n} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} S_n=X_1+...+X_n \end{eqnarray}$ und X_1..X_n unabhaengig identisch verteilte ZV sind. nach wikipedia muss ich zeigen,dass $\begin{eqnarray} \frac{S_n}{n} \end{eqnarray}$ S_n messbar ist und eine zweite bedingung die ich nicht verstehe
25.01.2007, 14:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine bedingte Erwartung $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| \mathcal{A}) \end{eqnarray}$ bzgl. einer Teilsigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}\subset\mathcal{F} \end{eqnarray}$ des zugrundeliegenden W-Raumes $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak{F},P) \end{eqnarray}$ ist schon gemäß Definition eine $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ -messbare Zufallsgröße. Ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ selbst bereits $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ -messbar, dann gilt $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| \mathcal{A}) = X \end{eqnarray}$ P-fast-sicher. Steht in der Bedingung selbst eine reellwertige Zufallsgröße, dann ist das gemäß $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| Y) := E(X \bigm\| Y^{-1}(\mathfrak{B}^1)) \end{eqnarray}$ definiert, mit der Borel-Sigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{B}^1 \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray}$ . Etwas handhabbarer für den Nicht-so-sattelfesten Maßtheoriekenner ist dann die Folgerung, dass es eine deterministische reelle Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| Y) = g(Y) \end{eqnarray}$ geben muss, wobei der Zusammenhang $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| Y=y) = g(y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} P_Y \end{eqnarray}$ -fast alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ gelten muss, darüber ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auch berechenbar. Konkret zu deinem Problem: Es gibt also für alle $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ Funktionen $\begin{eqnarray} g_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E(X_k \bigm\| S_n) = g_k(S_n)\qquad () \end{eqnarray}$ Wegen der identischen Verteilung der $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ kann aber hier das $\begin{eqnarray} g_k \end{eqnarray}$ gar nicht von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ abhängen (das musst du dir sicher nochmal durch den Kopf gehen lassen!), also kann man gleich $\begin{eqnarray} g_1=\cdots=g_n=:g \end{eqnarray}$ setzen. Schließlich betrachten wir mal die Summe von () über alle $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray} n\cdot g(S_n) = \sum\limits_{k=1}^n ~ E(X_k \bigm\| S_n) = E\left( \sum\limits_{k=1}^n ~ X_k \Bigm\| S_n\right) = E(S_n \bigm\| S_n) \stackrel{!}{=} S_n \end{eqnarray}$ , letztere Gleichheit aufgrund obiger Anmerkung $\begin{eqnarray} E(X \bigm\| \mathcal{A}) = X \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ -messbare $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . P.S.: Bedingte Erwartungs ist eine heikle Thematik, da habe ich mehr Verständnis, wenn man sich da am Anfang sehr unsicher bewegt.
25.01.2007, 16:03	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schoen fuer die antwort... ich glaube,dass muss ich mir noch ein zwei mal anschauen ich versuche es nachzuvollziehe....falls ich nicht weiterkomme melde ich mich nochmal....deshalb erstmal danke
29.01.2007, 10:34	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
hi arthur ...bin gerade in der klausurvorbereitung ...(was auch noch einige zeit braucht ) nun hab ich hier noch mal eine Aufg zur Erwartung. Es werden 2 faire Wuerfel geworfen. $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ sind die Augenzahlen. Berechne die $\begin{eqnarray} Var(X_1-X_2\|X_1+X_2=9) \end{eqnarray}$ habe nun erstmal $\begin{eqnarray} E(X_1-X_2\|X_1+X_2=9) \end{eqnarray}$ ausgerechnet und bin auf 0 gekommen. Für $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ kommt ja nur 3,4,5,6 in Frage ,nun habe ich $\begin{eqnarray} E(X_1-X_2\|X_1+X_2=9)=E(X_1\|X_1+X_2=9)-E(X_2\|X_1+X_2=9) \end{eqnarray}$ so umgeformt und da die beiden Erwartungswerte gleich sind kommt bei mir 0 raus. Wie mache ich nun weiter und ist das richtig ?
29.01.2007, 11:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst nicht nur einen starren Blick haben "wie rechne ich nun weiter...", sondern musst das bedingte W-Maß begreifen, ansonsten geht bei jeder kleinen Problemstellung die Fragerei von neuem los. Wie sieht's hier aus: Als W-Raum haben wir den Laplaceraum $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ \omega=(\omega_1,\omega_2) \bigm\| \omega_1,\omega_2\in \{1,2,3,4,5,6\} \right\} \end{eqnarray}$ vorliegen, d.h. $\begin{eqnarray} \|\Omega\|=36 \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Laplace-Wkt. $\begin{eqnarray} P(\cdot) \end{eqnarray}$ ist gemäß $\begin{eqnarray} P(\{\omega\}) = \frac{1}{\|\Omega\|} = \frac{1}{36} \end{eqnarray}$ bestimmt, die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ "picken" gerade die entsprechenden Augenzahlen raus, d.h. $\begin{eqnarray} X_1(\omega)=\omega_1,X_2(\omega)=\omega_2 \end{eqnarray}$ . Wie kann man sich hier nun das bedingte W-Maß $\begin{eqnarray} P'(\cdot) := P\left( \cdot \bigm\| X_1+X_2=9\right) \end{eqnarray}$ eines solchen Laplace-W-Maßes $\begin{eqnarray} P(\cdot) \end{eqnarray}$ vorstellen? Ganz einfach, es ist wieder ein Laplace-W-Maß, nur diesmal eingeschränkt auf die $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ -Teilmenge $\begin{eqnarray} \Omega' := \left\{ \omega=(\omega_1,\omega_2) \bigm\| X_1(\omega)+X_2(\omega)=9 \right\} = \left\{ \omega=(\omega_1,\omega_2) \bigm\| \omega_1+\omega_2=9 \right\} \end{eqnarray}$ (wenn du die Laplace-Eigenschaft für $\begin{eqnarray} P' \end{eqnarray}$ mir nicht glaubst, rechne es nach mit der Def. der bedingten Wkt $\begin{eqnarray} P(A \bigm\| B) := \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ ). Der W-Raum $\begin{eqnarray} \Omega' \end{eqnarray}$ ist hier so klein, dass man ihn hier ruhig mal vollständig aufschreibe kann: $\begin{eqnarray} \Omega' = \{ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P'(\{\omega\}) = \frac{1}{\|\Omega'\|} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega' \end{eqnarray}$ . Oder wieder in den Zufallsgrößen geschrieben: $\begin{eqnarray} P'(X_1=3,X_2=6) = P'(X_1=4,X_2=5) = P'(X_1=5,X_2=4) = P'(X_1=6,X_2=3) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Daraus kannst du nun alles berechnen, z.B. in einem ersten Schritt $\begin{eqnarray} P'(X_1-X_2=-3) = P'(X_1-X_2=-1) = P'(X_1-X_2=1) = P'(X_1-X_2=3) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . P.S.: Ich hab das jetzt alles nur so ausführlich geschrieben, damit du mal über die Struktur des bedingten W-Maßes $\begin{eqnarray} P\left( \cdot \bigm\| X_1+X_2=9\right) \end{eqnarray}$ nachdenkst, statt nur formal zu rechnen. Wirklich nötig ist eine solche Ausführlichkeit natürlich nicht bei einer so kleinen Aufgabe wie hier.
29.01.2007, 12:03	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
ja so habe ich mir das auch vorgestellt ... dann folgt doch aber fuer den erwartungswert : $\begin{eqnarray} E(X_1-X_2\|X_1+X_2=9)=\sum_k~kP(X_1-X_2=k) \\ k\in \{-3,-1,1,3\} \end{eqnarray}$ hoffe ich habe das formal richtig aufgeschrieben ... dann ist $\begin{eqnarray} E(X_1-X_2\|X_1+X_2=9)=-3 \frac{1}{4}-1 \frac{1}{4}+1 \frac{1}{4}+3 \frac{1}{4}=0 \end{eqnarray}$ Für die Varianz folgt dann $\begin{eqnarray} Var(X_1-X_2\|X_1+X_2=9)=\sum_k~k^2P(X_1-X_2=k) \\ k\in \{-3,-1,1,3\} \end{eqnarray}$ Bitte lass was richtig sein $\begin{eqnarray} Var(X_1-X_2\|X_1+X_2=9)=9\frac{1}{4}+1 \frac{1}{4}+1 \frac{1}{4}+9 \frac{1}{4}=5 \end{eqnarray}$
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29.01.2007, 12:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich dich mal beruhigen: Das Ergebnis ist richtig. Formal allerdings nicht ganz: Du schreibst oben $\begin{eqnarray} P(X_1-X_2=k) \end{eqnarray}$ , wo eigentlich $\begin{eqnarray} P(X_1-X_2=k \bigm\| X_1+X_2=9) \end{eqnarray}$ stehen müsste. Natürlich nervt so ein dauerndes Mitschleifen, in einem solchen Falle kannst du ähnlich wie ich oben ein $\begin{eqnarray} P' \end{eqnarray}$ einführen.

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