Wachstums- und Abnahmeprozesse

10.05.2012, 10:30

netcrack

Wachstums- und Abnahmeprozesse

Moin moin,

Ich habe bei der Aufgabe, im angehängten Bild, keine Idee wie ich sie angehen soll. Wäre net wenn mir jemand sagen kann wie ich die angehen kann.

Danke schon mal für die Hilfe

mfg

ich
[attach]24448[/attach]

10.05.2012, 11:24

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Im wesentlichen geht es um die Gleichung $\begin{eqnarray*} u_k = (1 + \frac 1 n)^k \cdot u_0 \end{eqnarray*}$ .
Und das kannst du leicht mit vollständiger Induktion zeigen. smile

10.05.2012, 11:28

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Mit Vollständiger Induktion?? wie soll den das aussehen?

EDIT:
Ich verstehe vor allem nicht wie ich (7.4) hier anwenden soll.

10.05.2012, 12:01

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Original von netcrack
Mit Vollständiger Induktion?? wie soll den das aussehen?

Mit Induktionsanfang und Induktionsschritt. Wie denn sonst?

Zitat:

Original von netcrack
Ich verstehe vor allem nicht wie ich (7.4) hier anwenden soll.

Mit $\begin{eqnarray*} t_k:= k \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_k:= u(t_k) \end{eqnarray*}$ und alpha = 1 haben wir:

$\begin{eqnarray*} u(t_k + \Delta t) = u(k \cdot \Delta t + \Delta t) = u((k+1) \cdot \Delta t) = u(t_{k+1}) = u_{k+1} \end{eqnarray*}$

Mittels 7.4 gilt also: $\begin{eqnarray*} u_{k+1} - u_k= u(t_k + \Delta t) - u(t_k) = u(t_k) \cdot \Delta t = u_k \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$

Und das kannst du dann für die vollständige Induktion verwenden.

10.05.2012, 13:30

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Vielen dank für die Hilfe, wenn ich es richtig verstanden habe kann ich die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ umstellen und danach in die Behauptungen die in b) stehen einsetzen und dies schlieslich durch induktion beweisen? Werde ich gleich mal versuchen!

10.05.2012, 13:47

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Hmm. Es ist eher so, daß du beim Induktionsschritt die Gleichung 7.4 nach u_(k+1) auflöst.

10.05.2012, 14:22

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Müsste ich dann

$\begin{eqnarray*} u(t_k+\Delta t) - u(t_k) = a \cdot u(t_k) \Delta t \end{eqnarray*}$

dann hier die Induktion nach k fürhren oder wie ist das gemeint?

10.05.2012, 14:27

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Diese Gleichung brauchst du nicht beweisen, denn die ist als gegeben vorausgesetzt. Es geht um:

Zitat:

Original von klarsoweit
Im wesentlichen geht es um die Gleichung $\begin{eqnarray*} u_k = (1 + \frac 1 n)^k \cdot u_0 \end{eqnarray*}$ .
Und das kannst du leicht mit vollständiger Induktion zeigen. smile

10.05.2012, 14:38

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Also noch ein mal ganz langsam für nicht so schnelle Augenzwinkern

Es geht um:

$\begin{eqnarray*} u_k = (1 + \frac {1} {n})^k u_0 \end{eqnarray*}$

Diese gleichung sagt mir doch erst mal ncihts??? Ich muss erst ein mal für die linke seite "was anderes finden"? Dies muss ich dan für $\begin{eqnarray*} k = 1,...,n \end{eqnarray*}$ zeigen.
Aber was muss ich denn jetzt für $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ einsetzen, scheine gerade echt zu blöde dafür zu sein -.-

10.05.2012, 14:46

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Original von netcrack
Es geht um:

$\begin{eqnarray*} u_k = (1 + \frac {1} {n})^k u_0 \end{eqnarray*}$

Diese gleichung sagt mir doch erst mal ncihts???

Wieso nicht? Es besagt, daß man den Wert für u_k berechnen kann, indem man u_0 mit $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1} {n})^k \end{eqnarray*}$ multipliziert. Das ist recht praktisch, denn du brauchst zur Bestimmung von u_k nicht alle anderen davorliegenden Werte zu bestimmen.

Zitat:

Original von netcrack
Ich muss erst ein mal für die linke seite "was anderes finden"? Dies muss ich dan für $\begin{eqnarray*} k = 1,...,n \end{eqnarray*}$ zeigen.

Du machst eine Induktion über k. Dabei kannst du sogar mit k=0 beginnen.

Zitat:

Original von netcrack
Aber was muss ich denn jetzt für $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ einsetzen

Erstmal nichts. Später beim Induktionsschritt wird die Gleichung 7.4 gebraucht.

10.05.2012, 14:53

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
ja... aber was mich da so sehr stöhrt ist folgendes

$\begin{eqnarray*} u_0 = u(t_0) = u(0 \cdot \Delta t) = 0 \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} u_k = (1+ \frac {1}{n})^k \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

10.05.2012, 15:06

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Original von netcrack
$\begin{eqnarray*} u(0 \cdot \Delta t) = 0 \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das gelten? Davon ist nirgendwo die Rede gewesen.

10.05.2012, 15:21

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Wie du ja selber geschrieben hast, ist

$\begin{eqnarray*} t_k:= k \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_k:= u(t_k) \end{eqnarray*}$

also ist doch

$\begin{eqnarray*} u_0 = u(t_0) = u (0 \cdot \Delta t) \end{eqnarray*}$

oder nicht?

10.05.2012, 15:30

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Das ist richtig. Aber es ist nicht gesagt, daß u_0 = 0 sein muß.

10.05.2012, 15:43

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
-.- oh man stimmt!!! Es ist ja nur der Funktionswer für x=0 -.- sorry dann versuche ich es noch ein mal

10.05.2012, 15:59

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Also dann müsste es wie folgt heisen ??

Induktion über k
Für k=1

$\begin{eqnarray*} u_1 = u(t_1) = u(1 \cdot \Delta t) = u (1 \cdot \frac {1}{n}) \end{eqnarray*}$

und jetzt muss geprüft werden ob es auch gleich

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1}{n} )^1 u_0 = (1 + \frac{1}{n}) \cdot u(0) \end{eqnarray*}$

ist?

wobei ich nicht sehe wie beides das selbe sein soll?

10.05.2012, 16:04

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Dazu kannst du die Gleichung 7.4 verwenden. Es ist $\begin{eqnarray*} u_1 - u_0 = u_0 \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du nach u_1 umstellen. Oder du machst den Induktionsanfang mit k=0. Augenzwinkern

10.05.2012, 17:02

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Vielen dank für die hilfe. Ich versuche das jetzt noch ein mal so, muss jetzt aber leider loß und kann mich dann erst morgen wieder melden.

11.05.2012, 09:41

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
So also ich fange mal mit k=0 an und schreibe mal wie weit ich gekomemn bin.

für k=0

$\begin{eqnarray*} u_0 = u(0 \cdot \Delta t) = u(0) = \left (1+ \frac {1} {n} \right)^0 \cdot u_0 = u(0) \end{eqnarray*}$

für k+1

mit 7.4 gilt

$\begin{eqnarray*} u_{k+1} - u_k = u_k \cdot \Delta t \Leftrightarrow u_{k+1}=u_k \cdot \Delta t + u_k \Leftrightarrow u_{k+1} = u(t_k) \cdot \Delta t + u(t_k) \Leftrightarrow u_{k+1} = u(t_k) \left(1 + \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich irgenwie zeigen das die obere Gleichung gleich

$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = \left (1 + \frac{1}{n} \right )^{k+1} \cdot u_0 \end{eqnarray*}$

ist. oder?

11.05.2012, 10:08

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Ja. Du hast aber auch noch eine Induktionsvoraussetzung. Und es ist immer hilfreich, wenn man sich diese beim Induktionsschritt als erstes mal hinschreibt.

11.05.2012, 10:22

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Die Induktionsvoraussetzung hier ist

$\begin{eqnarray*} u_k = \left (1+ \frac{1}{n} \right )^k u_0 \end{eqnarray*}$

oder??

11.05.2012, 10:52

klarsoweit

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Richtig. Rock

11.05.2012, 12:09

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Ich versuch es mal noch ein mal ^^

Für k+1

$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = u((k+1) \Delta t) \end{eqnarray*}$ mit 7.4 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow u((k+1) \Delta t) - u(t_k) = u(t_k) \cdot \Delta t \Leftrightarrow u_{k+1} = u(t_k) \Delta t + u(t_k) \Leftrightarrow u_{k+1} = u (t_k)(1+\Delta t) \end{eqnarray*}$ IV
$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = \left (1 + \frac{1}{n} \right ) \cdot u_0 \left (1 + \frac{1}{n} \right) = \left (1 +\frac{1}{n} \right)^{k+1} \cdot u_0 = u_{k+1} \end{eqnarray*}$

wie ist das ???

11.05.2012, 12:26

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Original von netcrack
$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = \left (1 + \frac{1}{n} \right ) \cdot u_0 \left (1 + \frac{1}{n} \right) = \left (1 +\frac{1}{n} \right)^{k+1} \cdot u_0 = u_{k+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du das so schreibst:
$\begin{eqnarray*} u_{k+1} = \left (1 + \frac{1}{n} \right )^k \cdot u_0 \left (1 + \frac{1}{n} \right) = \left (1 +\frac{1}{n} \right)^{k+1} \cdot u_0 \end{eqnarray*}$
wäre es ok. Augenzwinkern

11.05.2012, 13:08

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
ups... auf meinem Blatt habe ich das auch so stehen^^ war nur ein Tipfehler.

Ist das Formal auch okay so? Da habe ich auch noch so meine Probleme.
Ich danke dir auf jeden fall schon sehr für die Hilfe, ich habe schon auf anderen Platformen Hilfe für diese Aufgabe gesucht und nur hier welche gefunden! Tolle sache!!!

mfg
ich

11.05.2012, 13:24

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse

Zitat:

Original von netcrack
Ist das Formal auch okay so?

Warum nicht? Du solltest natürlich deine Beweisschritte auch kommentieren. Das hilft auch deinem eigenen Verständnis. smile

Zitat:

Original von netcrack
ich habe schon auf anderen Platformen Hilfe für diese Aufgabe gesucht und nur hier welche gefunden! Tolle sache!!!

Ich / wir freuen uns natürlich über das Lob, aber parallele Hilfesuche auf anderen Plattformen wird hier nicht gerne gesehen und kann auch zum Schließen des Threads führen.

11.05.2012, 16:11

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Ich habe aber nicht parallel gesucht. Die anderen treadssind ale schon alt und wurden geschlossen weil keiner was dazu geschrieben hat -.-

22.05.2012, 15:15

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
So ich poste einfach mal hier weiter da es zu der in diesem Tread besprochenen Aufgabe noch einen Teil c gibt (Den ich nicht auf dem Bild Drauf hatte).

Im Teil c dieser Aufgabe heist es

Die Vermutung, dass (1 + 1/n)^n mit zunehmendem n wächst, wird bestätigt durch die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m < \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m<n (m,n \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ ,
Erst recht ist

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ für n=1, 2, ...

hier heist es auch in der Musterlösung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m = 1+ {m \choose 1}\frac{1}{m} + {m \choose 2}\frac{1}{m^2}+ \cdots +{m \choose m}\frac{1}{m^m}< 1+{n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2}+ \cdots +{n \choose m}\frac{1}{n^m}+\cdots+{n \choose n}\frac{1}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Es ist mir ja rein Rechnerich klar, dass jeweils der Binomialkoeffitiont rechts in jedem Summanden glößer ist und das es erst recht rechts mehr Summanden gibt. Es ist doch aber jeder Bruch LINKS größser als der dazugehörende Bruch Rechts. Womit begründe ich jetzt das eben die rechte Summe größer ist ?

Danke schon mal für eure Hilfe.

mfg
ich

25.05.2012, 12:16

netcrack

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RE: Wachstums- und Abnahmeprozesse
Moin,

Ich wollte nur noch ein mal fragen ob mir jemand bei der Fragestellung in dem Letzten Beitrag helfen kann?

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Wachstums- und Abnahmeprozesse

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