Rand einer Menge M Element |N

10.05.2012, 11:25

Leviathanz0r

Abschluss/Inneres/Rand einer Menge M Element |N

Hallo liebe Community (:

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \cup \left \{ \infty \right \} \end{eqnarray*}$ mit der folgenden Metrik versehen:
$\begin{eqnarray*} d(n,m):=\left | \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right |, d(n,\infty):=d(\infty,n):=\frac{1}{n}, d(\infty, \infty):=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m,n \epsilon \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine unbeschränkte Menge, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall R > 0 \exists n \epsilon M: n \geq R \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{N} \cup \left \{ \infty \right \}, d) \end{eqnarray*}$

Zum Inneren der Menge: Das Innere ist ja definiert als Menge aller Punkte der Menge, für die eine beliebig kleine Epsilon-Umgebung immer noch Teil der Menge ist. Mich verwirrt nun die Vorstellung einer Epsilon-Umgebung für eine Menge natürlicher Zahlen, mir ist bis jetzt nur klar, dass $\begin{eqnarray*} \dot{M} = \left ( x, \infty \right ) \end{eqnarray*}$ ist, wobei x mir noch nicht bekannt ist. Existiert das Innere nun überhaupt? (Beliebig kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ können ja nur für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gewählt werden.)

Zum Abschluss der Menge schätze ich, dass die Menge selbst ihr Abschluss ist, da sie unbeschränkt ist. Ist diese Annahme etwa falsch?

Beim Rand tue ich mich wiederum auch mit der Unendlichkeit schwer. Existiert das Innere nicht, wäre er ja gleich der Menge selbst.

Vielen Danke schon einmal im Vorraus (:

10.05.2012, 12:54

Louis1991

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RE: Abschluss/Inneres/Rand einer Menge M Element |N
Hallo Leviathanz0r,

Zitat:

Original von Leviathanz0r
Zum Inneren der Menge: Das Innere ist ja definiert als Menge aller Punkte der Menge, für die eine beliebig kleine Epsilon-Umgebung immer noch Teil der Menge ist. Mich verwirrt nun die Vorstellung einer Epsilon-Umgebung für eine Menge natürlicher Zahlen, mir ist bis jetzt nur klar, dass $\begin{eqnarray*} \dot{M} = \left ( x, \infty \right ) \end{eqnarray*}$ ist, wobei x mir noch nicht bekannt ist. Existiert das Innere nun überhaupt? (Beliebig kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ können ja nur für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gewählt werden.)

Zu erst einmal: das Innere einer topologischen Menge "existiert" immer - im Extremfalls ist es eben die leere Menge.

An sich ist deine Überlegung schon relativ gut. Fangen wir mal an: wir wissen M ist als Teilmenge der natürlichen Zahlen gewählt (insbesondere also ohne "unendlich"), also ist "unendlich" nicht in M.

Annahme: das Innere von M ist nicht leer, dann gibt es also ein m in M. Das m erfüllt folgende Eigenschaft: .... und ab hier sollte es nicht schwer sein, einen Widerspruch herbeizuführen.

Zitat:

Original von Leviathanz0r
Zum Abschluss der Menge schätze ich, dass die Menge selbst ihr Abschluss ist, da sie unbeschränkt ist. Ist diese Annahme etwa falsch?

Ja. Der Abschluss ist ja nichts anderes, als das Innere der Menge vereinigt mit dem Rand.... zu dem kommen wir jetzt gleich!

Zitat:

Original von Leviathanz0r
Beim Rand tue ich mich wiederum auch mit der Unendlichkeit schwer. Existiert das Innere nicht, wäre er ja gleich der Menge selbst.

Nicht ganz richtig. Ist das Innere der Menge leer, dann ist jeder Punkt der Menge auch Randpunkt. Aber natürlich kann es auf dem Rand noch Punkte geben, die nicht in der Menge liegen. Einer fällt hier ja wohl direkt ins Auge. Augenzwinkern

Erinnerung: Definition von Rand ist "ein Punkt x ist Randpunkt einer Menge M, wenn jede Umgebung von x einen Punkt aus M enthält".

Anmerkung: für deinen Beweis brauchst du, dass wenn M unbeschränkt ist, für m in M der Quotient 1/m beliebig klein werden kann.

Damit sollte alles recht handlich zu zeigen sein, außer ich habe was übersehen... nur eben in der Mittagspause hier drübergeschaut.

Viel Erfolg!

lg
kai Wink

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