Primelemente in Z[1/10]

10.05.2012, 14:41	Khisanth	Auf diesen Beitrag antworten »
Primelemente in Z[1/10] Meine Frage: $\begin{eqnarray} Ist ~ z:=\frac{178}{10} ~ in ~ \mathbb Z [\frac{1}{10}] ~ irreduzibel? \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hierzu möchte ich prüfen, ob z ein Primelement ist, da z ist Primelement => z ist irreduzibel Zunächst hatte ich dort die Idee die Voraussetzungen für ein Primelement an z zu prüfen. Dachte dann aber, dass es vielleicht einfacher wäre zu schauen wie die Menge der Primelemente in $\begin{eqnarray} \mathbb Z [\frac{1}{10}] \end{eqnarray}$ aussieht und zu prüfen, ob mein z darin liegt. Ich denke ich stelle mir das zu einfach vor, aber es gilt ja $\begin{eqnarray} \mathbb Z [\frac{1}{10}] = \{\frac{a}{10^{n}} ~mit ~a \in \mathbb Z ~und ~n \in \mathbb No\} \end{eqnarray}$ ist die Menge der Primelemente dann $\begin{eqnarray} Prim( \mathbb Z[\frac{1}{10}]) = \{\frac{a}{10^{n}} ~mit ~a \in \mathbb Z , a ~Primelement ~in~ \mathbb Z ~und ~ ~n \in \mathbb No\} ? \end{eqnarray}$
10.05.2012, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z=\frac {178} {10}=2\cdot \frac {89}{10} \end{eqnarray}$ sieht nicht sonderlich irreduzibel aus ... oder vielleicht doch weil $\begin{eqnarray} 2=\frac {10} 5, 2^{-1}=\frac 5 {10}\in (\mathbb Z[\frac 1 {10}])^ \end{eqnarray*}$ Dass 2 eine Einheit ist zeigt aber auch, dass du die Primelemente noch nicht richtig erfasst hast.
10.05.2012, 22:42	Khisanth	Auf diesen Beitrag antworten »
also ein Primelement darf keine Einheit sein, dass ist mir schon klar. Und weiter müsste ja noch gelten, dass dieses primelement p ein Produkt zweier Elemente aus R nur teilt wenn p bereits eines dieser Elemente teilt. Okay gut und mein z wäre dann in diesem Fall dann ja doch irreduzibel weil es keine Einheit ist, sich aber von einem Produkt $\begin{eqnarray} a \cdot b \end{eqnarray}$ darstellen lässt wobei entweder a oder b eine Einheit ist. hier gilt dann ja $\begin{eqnarray} z=\frac{178}{10}=a \cdot b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a= 2 \in (\mathbb Z[\frac{1}{10}])^{} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b= \frac{89}{10} \notin(\mathbb Z[\frac{1}{10}])^{} \end{eqnarray}$ Seh ich das dann richtig? Das ich da gar nicht drauf bekommen bin einfach mal etwas rauszuziehen... Aber vielen Dank!
11.05.2012, 11:38	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur weil sich z als Produkt einer Einheit mit einer Nichteinheit darstellen lässt, ist es deswegen noch nicht irreduzibel. Allgemein lässt sich sagen: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\frac{1}{10}] \end{eqnarray}$ muss wie $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring sein (Die Ideale sind von der Form $\begin{eqnarray} \{ \frac{ra}{10^k}\, \|\, r\in \mathbb{Z}, k\in\mathbb{N}_0\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ), also faktoriell und Primelemente sind dasselbe wie irreduzible Elemente. Zur Bestimmung der irreduziblen Elemente und Einheiten: Multiplikation mit einer Einheit (insbesondere mit 10 oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ ) ändert die Eigenschaft eines Elementes Einheit oder irreduzibel zu sein nicht. Also reicht es Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zu betrachten. Ist $\begin{eqnarray} c\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c=\frac{a}{10^k}\cdot \frac{b}{10^l} \end{eqnarray}$ eine Gleichung in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\frac{1}{10}] \end{eqnarray}$ (jedes Element in diesem Ring lässt sich in der Form $\begin{eqnarray} \frac{a}{10^k} \end{eqnarray}$ mit a teilerfremd zu 10 darstellen), dann ist $\begin{eqnarray} c\cdot 10^{k+l}=ab \end{eqnarray}$ eine in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und wir haben $\begin{eqnarray} c\mid a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c\mid b \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und es gibt $\begin{eqnarray} r\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit sagen wir $\begin{eqnarray} a=rc \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 10^{k+l}=rb \end{eqnarray}$ und weil 10 nicht b teilt ist b eine Einheit in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \frac{b}{10^l} \end{eqnarray}$ eine in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\frac{1}{10}] \end{eqnarray}$ Also sind irreduzible Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ wieder irreduzibel in dem Erweiterungsring - es sei denn natürlich sie werden zu Einheiten dort. Man kann sich leicht überlegen, dass ein Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ genau dann eine Einheit wird in dem anderen Ring, wenn die Primfaktorzerlegung keine Primzahlen außer 2 und 5 enthält.

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