Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix

10.05.2012, 14:28	moojo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix Meine Frage: Betrachten sie die folgende Familie von nilpotenten Matrizen $\begin{eqnarray} A_t = \begin{pmatrix} <br /> 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ <br /> 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & t\\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ <br /> \end{pmatrix} \in \mathbb C^{6x6} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass alle Matrizen $\begin{eqnarray} A_t \end{eqnarray}$ fuer $\begin{eqnarray} t \neq 0 \end{eqnarray}$ die Jordansche Normalform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} <br /> J(0,4) & 0\\<br /> 0 & J(0,2) <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben, waehrend $\begin{eqnarray} A_0 = \begin{pmatrix} <br /> J(0,3) & 0\\<br /> 0 & J(0,3) <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine davon verschiedene Normalform ist. Meine Ideen: Fuer $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ ist mir klar, dass dort die Jordansche Normalform mit den 2 Bloecken(je 3 Kaestchen) da direkt steht. Fuer $\begin{eqnarray} t \neq 0 \end{eqnarray}$ sehe ich nicht ob es hier einen Trick gibt oder ob ich wirklich einfach stumpf das char Polynom der grossen Matrix $\begin{eqnarray} A_t \end{eqnarray}$ ausrechnen muss. Reicht es den Eigenraum vom EW 0 zu bestimmen, wenn ich dieses char Polynom hab? Wie genau weiss ich, dass ich 2 Jordanbloecke habe wovon einer 4 und einer 2 lang ist, anstatt von zum Beispiel einem der 4 lang ist und 2 mal 1 kaestchen grossen. Edit: LaTeX-Tags gesetzt. Gruß, Reksilat.
11.05.2012, 11:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix Hallo moojo, Setze bitte Deine Formeln in [latex]-Tags und verwende die Vorschau. Damit hättest Du nämlich auch gleich gesehen, dass mit der Formatierung was nicht stimmt. Ich habe mir mal erlaubt, die Tags zu setzen. Zur Aufgabe: Man kann leicht sehen, dass der Kern der Matrix auch für $\begin{eqnarray} t\neq 0 \end{eqnarray}$ die Dimension 2 hat. Damit kann es auch nur zwei Jordanblöcke geben, denn jeder Jordanblock steht für einen weiteren Basisvektor im Kern. Dann kannst Du mal schauen, was mit dem Vektor $\begin{eqnarray} (0,0,0,0,0,1)^T \end{eqnarray}$ passiert, wenn Du $\begin{eqnarray} A_t \end{eqnarray}$ mehrfach darauf anwendest. Gruß, Reksilat.

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