Nullstellen und Quadratische Ergänzung.

10.05.2012, 19:27

Sherlock Holmes

Nullstellen und Quadratische Ergänzung.

Hei, ich möchte bitte noch ein paar Aktualisierungen in diesen gebieten haben:

Quadratische Ergänzung:

Sagen wir mal unsere Funktion heißt:

$\begin{eqnarray*} y= 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$

Jetzt führen wir die Quadratische Ergänzung durch:

$\begin{eqnarray*} 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x²+6x+9-9)+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\left[(x²+6x+9)-9\right]+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x+3)²-15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(-3/-15) \end{eqnarray*}$

Jetzt überprüfen wir die Nullstellen, mit einer neuen Funktion:

$\begin{eqnarray*} 0= (x+3)²+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2=(x+3)²+2 \end{eqnarray*}$

Also hat diese Funktion keine Nullstellen, wenn man jetzt die Wurzel ziehen würde...

Wenn sie welche hätte dann:

$\begin{eqnarray*} 0= (x+3)²-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2= (x+3)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=x+3 \end{eqnarray*}$

Jetzt können zwei Werte richtig sein. Denn wenn man die Wurzel zieht, kann es sowohl negativ auch positiv sein.

So jetzt zuletzt: Wenn man die PQ-Formel an diesem Beispiel machen würde:

$\begin{eqnarray*} y= x²+4x+2 \end{eqnarray*}$

Dann müsste man:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\left(\frac{2}{2} \right)\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2} \right)^2-2 } \end{eqnarray*}$

Hab ich alles so weit richtig gemacht? Wir hatten diese Themen schon seit langer Zeit, aber eine Aktualisierung ist immer gut.

Gruss Holmes.

10.05.2012, 19:34

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Erste Aufgabe: Wenn du ausklammerst, musst du diesen Faktor allen Summanden entziehen.
Entsprechend ist das Ergebnis leider falsch:

Zweite Aufgabe: Stimmt. Freude

Dritte Aufgabe: Die Überlegung stimmt. Freude

Vierte Aufgabe: Hier hast du doppelt gemoppelt.
Entweder du halbierst p gleich, oder du schreibst p/2. Aber das halbe p nochmal halbieren ist zu viel des Guten. Augenzwinkern

10.05.2012, 19:40

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Ist das erste falsch? Das versteh ich nicht so genau.

$\begin{eqnarray*} 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x²+3x+9-9)+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\left[(x²+3x+9)-9\right]+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x+1.5)²-15 \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich habs!

Zu der 4:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\left(\frac{2}{2} \right)\pm \sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2-2 } \end{eqnarray*}$

Stimmts so?

10.05.2012, 19:59

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Stimmt, dass jetzt? Oder hab ich immer noch einen Fehler in Rechnung?

10.05.2012, 20:07

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.

Zitat:

Original von Sherlock Holmes
Ist das erste falsch? Das versteh ich nicht so genau.

$\begin{eqnarray*} 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x²+3x+9-9)+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\left[(x²+3x+9)-9\right]+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x+1.5)²-15 \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich habs!

$\begin{eqnarray*} 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x²+3x+2,25-2,25)+3 \end{eqnarray*}$
usw.

Zitat:

Original von Sherlock Holmes
Zu der 4:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\left(\frac{2}{2} \right)\pm \sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2-2 } \end{eqnarray*}$

Stimmts so?

Wenn schon, denn schon: $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\left(\frac{4}{2} \right)\pm \sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2-2 } \end{eqnarray*}$

smile

10.05.2012, 20:08

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Oh gott, bin ich blöd. Ich wusste da was fehlt!

Danke Sulo, du bist genial Mit Zunge

$\begin{eqnarray*} 2x²+6x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x²+3x+2.25-2.25)+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\left[(x²+3x+2.25)-2.25\right]+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(x+1.5)²-1.5 \end{eqnarray*}$

So muss es sein.

10.05.2012, 20:10

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Gern geschehen. Wink

(Den Titel "genial" haben hier ganz andere Helfer verdient... Augenzwinkern

)

10.05.2012, 20:11

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Natürlich smile

10.05.2012, 20:11

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.

Zitat:

Original von Sherlock Holmes
$\begin{eqnarray*} 2\left[(x²+3x+2.25)-2.25\right]+3 \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} 2(x+1.5)²+1.5 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wieder der gleiche Fehler, diesmal sozusagen rückwärst. Augenzwinkern

10.05.2012, 20:12

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Ja hab ich schnell editiert. Schau nochmal drüber, bitte.

10.05.2012, 20:15

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Ja, jetzt stimmt es. Freude

10.05.2012, 20:17

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Jawohl. Noch mal eine kurze Frage, wenn man zb eine Wertetabelle anfertigen möchte (was man auch machen muss), dann sollte man einfach zb.

x -3 -2 -1 0 1
-------------------
y

Dann einfach für x:

(x+1.5)²-1.5

einsetzen oder? Das Ergebnis ist dann y.

10.05.2012, 20:33

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Ja, so ist es. Du rechnest:

(-3+1.5)²-1.5 = ....
(-2+1.5)²-1.5 = ....
(-1+1.5)²-1.5 = ....
usw.

10.05.2012, 22:03

Sherlock Holmes

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Danke für die Hilfe.

10.05.2012, 22:11

sulo

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RE: Nullstellen und Quadratische Ergänzung.
Gern geschehen. Wink