Beweis, obere Grenze, Supremum

10.05.2012, 21:13

Christian_P

Beweis, obere Grenze, Supremum

Folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Zeigen Sie, dass für jede beliebige rationale Zahl r deren Quadrat kleiner 3 ist, immer eine größere rationale Zahl (z.B. in der Form r + 1/n , n aus N) existiert, deren Quadrat auch kleiner 3 ist. Hat die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner 3 ist, eine obere Grenze in Q, in R?

Ich habe erstmal versucht, die Aussage aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall r \in \mathbb{Q}:\, r^2<3:\, \exists \left(r+1/n\right) \in \mathbb{Q}\, , n\in \mathbb{N}: \, \left(r+1/n\right)^2<3 \end{eqnarray*}$

meine erste Frage; ist das soweit richtig aufgeschrieben?

so...

ich hab das jetzt mal berechnet:

$\begin{eqnarray*} \left( r + \frac{1}{n}\right) ^2 = r^2 + \frac{2r}{n}+\frac{1}{n^2}< r^2 + \frac{2r}{n}+\frac{1}{n}=r^2+\frac{2r+1}{n}<3 \; \Rightarrow \; \frac{2r+1}{3-r^2}<n \end{eqnarray*}$

hier die Abschätzung so, dass kein quadratisches Glied in n mehr auftritt

Wenn ich nun n so wähle, wie rechts steht, dann habe ich doch eine Zahl, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} r^2< \left( r + \frac{1}{n}\right) ^2 <3 \end{eqnarray*}$

Die also zwischen $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ liegt, also immer noch kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist?

Wenn ich nun die Mengen betrachte:

$\begin{eqnarray*} M_1=\left\{ r\in\mathbb{Q}: \, r<\sqrt{3}\right\}\qquad M_2=\left\{ r\in\mathbb{R}: \, r<\sqrt{3}\right\} \end{eqnarray*}$

dann wäre doch jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sup{M_1}=\sqrt{3}\notin \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} \sup{M_2}=\sqrt{3}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Was eine Antwort auf die letzte Frage der obigen Aufgabe wäre.

Wie könnte ich das nun am besten zeigen?

viele Grüße Wink

12.05.2012, 17:00

Che Netzer

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RE: Beweis, obere Grenze, Supremum

Zitat:

Original von Christian_P
Die also zwischen $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ liegt, also immer noch kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist?

Eine Zahl, deren Quadrat zwischen r² und 3 liegt. Ansonsten stimmt das.
(wenn ihr das so machen dürft: Über die Dichtheit ginge es einfacher; es gibt zwischen beliebigen (verschiedenen) reellen Zahlen eine rationale, also auch zwischen r und Wurzel 3)

$\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ als obere Schranke der Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stimmt auch, in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ besitzt die Menge aber auch eine. Sogar unendlich viele.

mfg,
Ché Netzer

13.05.2012, 15:43

Christian_P

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Wenn man die kleinste obere Schranke in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\notin \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Hat dann die Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} \sup{M}\in \mathbb{Q}\text{ ?} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Definition eines $\begin{eqnarray*} \sup{X} \end{eqnarray*}$ anschaue, dann muss $\begin{eqnarray*} \sup{X} \end{eqnarray*}$ erst einmal eine obere Schranke sein. Wenn aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\notin \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, dann kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ja erst gar nicht also obere Schranke in frage.

Wenn man nun zeigt, wie oben, dass man in $\begin{eqnarray*} \mathbb {Q} \end{eqnarray*}$ immer eine nächstegrößere Zahl finden kann, die die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} r^2<3 \end{eqnarray*}$ hat, Kann man das dann als Beweis (durch Widerspruch) nehmen, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb {Q} \end{eqnarray*}$ keine solches $\begin{eqnarray*} \sup{M_1} \end{eqnarray*}$ esxistiert?

Danke Dir, für deine Hilfe!

13.05.2012, 16:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Christian_P
Wenn man nun zeigt, wie oben, dass man in $\begin{eqnarray*} \mathbb {Q} \end{eqnarray*}$ immer eine nächstegrößere Zahl finden kann, die die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} r^2<3 \end{eqnarray*}$ hat, Kann man das dann als Beweis (durch Widerspruch) nehmen, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb {Q} \end{eqnarray*}$ keine solches $\begin{eqnarray*} \sup{M_1} \end{eqnarray*}$ esxistiert?

Das könnte man für die Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb Q:x<0\} \end{eqnarray*}$ auch machen, diese Menge hat aber ein Supremum.

Hier hat man verallgemeinert die Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb Q:-a<x<a\} \end{eqnarray*}$ . Wobei es hier keine Rolle spielt, ob man nur rationale x zulässt.

Da die Frage ist, ob es eine obere Grenze gibt, ist das Supremum völlig egal.
Wenn gefragt wäre, ob es eine kleinste obere Schranke gibt, sähe die Sache anders aus, aber so kannst du z.B. 1000 als obere Schranke in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ angeben.

14.05.2012, 08:52

Christian_P

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Hi

Ist nicht obere Grenze, kleinste obere Schranke und Supremum begrifflich genau dasselbe? Ich glaube wir hatten das so vereinbart. Ich falle der oberen Schranke gibt es natürlich viele, stimmt.

Gruß

14.05.2012, 18:55

Che Netzer

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Wir hatten Grenze und Schranke nie unterschieden. Wenn ihr "obere Grenze" als kleinste obere Schranke definiert, gibt es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ tatsächlich keine.
Was da üblich ist, weiß ich nicht, schlag am besten nochmal in eurem Skript nach.

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