pol-,hebbare-stelle & asymptote

11.05.2012, 00:11

uturn4

pol-,hebbare-stelle & asymptote

hallo,

ich habe ein funktion gegeben $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$
dazu soll ich folgende aufgaben lösen:

1. Den max. Definitionsbereich angeben:
Meine Idee $\begin{eqnarray*} D: \mathbb R \setminus \left\{ \pm 2\right\} \end{eqnarray*}$

2. Bestimmen Sie Polstellen und hebbare Stellen, an welchen f(x) also stetig ergänzt werden kann.
Durch welche Werte?
Meine Idee die polstellen liegen bei $\begin{eqnarray*} x = \pm 2 \end{eqnarray*}$ (Nullstellen des Nenners), da aber auch eine reelle nst. des zählers bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ liegt ist 2 also eine hebbare stelle, wenn ich das so richtig verstanden habe?!

3. Bestimmen Sie die Asymptote von $\begin{eqnarray*} f(x) ->\pm \infty \end{eqnarray*}$
Meine Idee $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$ nun habe ich die funktion folgendermaßen äquivalent umgeformt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } x+\frac{6}{x+2} \end{eqnarray*}$ hier bekomme ich $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ als asymptote die ist vertikal
ist das so richtig verwirrt

11.05.2012, 00:45

Mathewolf

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Zu 2:
Du hast die Aufgabe nur teilweise gelöst. Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, bei der die Definitionslücke behoben und an dieser Stelle stetig fortgesetzt wurde?

Zu 3:
Dein Lösungsweg ist hier grober Unfug. Da der Grad des Zählerpolinoms größer ist als der des Nennerpolynoms, wird die Untersuchung des Globalverhaltens nicht zielführend sein. Die Funktion divergiert.

Du hast eine nicht behebbare Definitionslücke bereits gefunden. Dies ist die gesuchte Asymptote.
Allerdings gibt es noch eine Weitere:

Du hast eine Funktion der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} \end{eqnarray*}$ , wobei der Grad non z(x) größer als der Grad von n(x) ist.

Diese kannst du dann mittels Polynomdivision in die Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=p(x)+\frac{r(x)}{n(x)} \end{eqnarray*}$

bringen. Dabei ist p(x) die Asymptotenfunktion.

11.05.2012, 00:50

Kasen75

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Hallo,

1. sieht gut aus. Freude

2. sieht genauso gut aus. smile

3. Hier kannst du überlegen, was aus dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{6}{x+2} \end{eqnarray*}$ wird, wenn $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ geht. Inwieweit spielt er dann noch eine Rolle?

Mit freundlichen Grüßen.

Zu spät. Ich bin weg. Wünsche noch viel Spaß. Wink

11.05.2012, 02:07

uturn4

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Zitat:

Original von Mathewolf
Zu 2:
Du hast die Aufgabe nur teilweise gelöst. Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, bei der die Definitionslücke behoben und an dieser Stelle stetig fortgesetzt wurde?

ich habe aus dieser quelle: http: // mathenexus.zum. de/html/analysis/stetigkeit/StetighebbareDefl.htm folgende schlüsse gezogen:
ich nähre mich der hebbaren def.lücke von links und rechts an.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} f(2-h) = \lim_{h \to 0} \frac{(2-h)^3+2(2-h)-12}{(2-h)^2-4} = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} f(2+h) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3+2(2+h)-12}{(2+h)^2-4} = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

d.h.
$\begin{eqnarray*} f_{neu}(x) = \frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \neq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{neu}(x) = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ sonst

Zitat:

Original von Mathewolf
Zu 3:
Dein Lösungsweg ist hier grober Unfug. Da der Grad des Zählerpolinoms größer ist als der des Nennerpolynoms, wird die Untersuchung des Globalverhaltens nicht zielführend sein. Die Funktion divergiert.

Du hast eine nicht behebbare Definitionslücke bereits gefunden. Dies ist die gesuchte Asymptote.
Allerdings gibt es noch eine Weitere:

Du hast eine Funktion der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} \end{eqnarray*}$ , wobei der Grad non z(x) größer als der Grad von n(x) ist.

Diese kannst du dann mittels Polynomdivision in die Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=p(x)+\frac{r(x)}{n(x)} \end{eqnarray*}$

bringen. Dabei ist p(x) die Asymptotenfunktion.

ok ich hab gesehen das mein Lösungsansatz unsinn war,.. also für $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ liegt eine verticale asymptote vor, da dort eine nicht behebbare def.lücke ist. leider komme ich noch nicht ganz darauf wie du das mit der poly.div. und der umformung meinst, also wenn ich auf das zähler polynom eine pol.div anwende bekomme ich $\begin{eqnarray*} x^2+2x+6 \end{eqnarray*}$ aber wie soll ich dann weiter vorgehen?

11.05.2012, 12:23

Mathewolf

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Zitat:

Original von uturn4
ich habe aus dieser quelle: http: // mathenexus.zum. de/html/analysis/stetigkeit/StetighebbareDefl.htm folgende schlüsse gezogen:
ich nähre mich der hebbaren def.lücke von links und rechts an.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} f(2-h) = \lim_{h \to 0} \frac{(2-h)^3+2(2-h)-12}{(2-h)^2-4} = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} f(2+h) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3+2(2+h)-12}{(2+h)^2-4} = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

d.h.
$\begin{eqnarray*} f_{neu}(x) = \frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \neq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{neu}(x) = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ sonst

Ja, damit hast du gleich gezeigt, dass 7/2 eine stetige Fortsetzung von f ist. Und man schreibt dann

$\begin{eqnarray*} \tilde f(x) = \begin{cases}f(x) & \textrm{für}\ x\in\mathbb R\backslash\{-2\}\\ \frac72 & \textrm{für}\ x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von uturn4
ok ich hab gesehen das mein Lösungsansatz unsinn war,.. also für $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ liegt eine verticale asymptote vor, da dort eine nicht behebbare def.lücke ist. leider komme ich noch nicht ganz darauf wie du das mit der poly.div. und der umformung meinst, also wenn ich auf das zähler polynom eine pol.div anwende bekomme ich $\begin{eqnarray*} x^2+2x+6 \end{eqnarray*}$ aber wie soll ich dann weiter vorgehen?

Nun, die Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$
Dies ist nichts anderes als ein Quotient, bei dem der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms. Das kannst du in Analogie mit Brüchen als "unechten Bruch" veranschaulichen. Und was macht man mit unechten Brüchen? Man wandelt sie in "gemischte Zahlen um". Genau das machen wir hier auch.
$\begin{eqnarray*} (x^3+2x-12)\div(x^2-4)=x+\frac{6x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

p(x)=x ist hier die Asymptotenfunktion.

Hier eine Skizze zur Verdeutlichung:

11.05.2012, 12:46

uturn4

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Zitat:

Original von Mathewolf
Und man schreibt dann

$\begin{eqnarray*} \tilde f(x) = \begin{cases}f(x) & \textrm{für}\ x\in\mathbb R\backslash\{-2\}\\ \frac72 & \textrm{für}\ x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ja genau das meinte ich auch ich hab nur nicht diese latex formatierung hinbekommen smile

Zitat:

Original von Mathewolf
Nun, die Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$
Dies ist nichts anderes als ein Quotient, bei dem der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms. Das kannst du in Analogie mit Brüchen als "unechten Bruch" veranschaulichen. Und was macht man mit unechten Brüchen? Man wandelt sie in "gemischte Zahlen um". Genau das machen wir hier auch.
$\begin{eqnarray*} (x^3+2x-12)\div(x^2-4)=x+\frac{6x-12}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

p(x)=x ist hier die Asymptotenfunktion.

Hier eine Skizze zur Verdeutlichung:

vielen dank das habe ich jetzt auch endlich verstanden Freude

11.05.2012, 12:56

Mulder

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RE: pol-,hebbare-stelle & asymptote
Kleine Anmerkung am Rande: Bei der Skizze hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen, dadurch wurde da jetzt eine falsche Funktion gezeichnet. Eigentlich sieht das Ganze so aus:

Die schräge Asymptote ist natürlich dieselbe. Augenzwinkern

11.05.2012, 13:11

Mathewolf

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Ah, sorry! Danke für die Korrektur, Mulder smile

11.05.2012, 16:53

xvzwx

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Zitat:

Original von Mathewolf

$\begin{eqnarray*} \tilde f(x) = \begin{cases}f(x) & \textrm{für}\ x\in\mathbb R\backslash\{-2\}\\ \frac72 & \textrm{für}\ x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ich glaube hier hat sich auch ein vorzeichfehler in der ersten zeile bei -2 eingeschlichen, müsste es dann nicht:

$\begin{eqnarray*} \tilde f(x) = \begin{cases}f(x) & \textrm{für}\ x\in\mathbb R\backslash\{2\}\\ \frac72 & \textrm{für}\ x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

heißen?

11.05.2012, 18:34

Mathewolf

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@ xvzwx: Ja, absolut korrekt.

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