Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen

11.05.2012, 11:17

Dasiggo

Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen

Hallo,

ich hänge etwas bei einer Sache und hoffe ihr könnt mir helfen.

Gegeben ist die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_{i}=k \end{eqnarray*}$ für einen Würfel, die aussagt das beim i-ten Versuch der Würfel k mal geworfen wurde, bis eine 1 gewürfelt wurde. Es werden 100 Versuche durchgeführt. Dabei gilt $\begin{eqnarray*} P(X_{i}=k)=p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich also den Erwartungswert der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ haben möchte, wie gehe ich da am besten vor?

Zunächst habe ich das Problem das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ theoretisch unendlich werden kann, für jeden Versuch. Ich würde das so angehen:
$\begin{eqnarray*} EX=\sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot P(X=k)=\sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$
aber wo höre ich auf mit der Summierung? Bei $\begin{eqnarray*} k=10 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k=100 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k=1000000 \end{eqnarray*}$ ? Ich habe das mal mit Excel versucht durchzurechnen. Ich bekomme ab ca dem 132 Wurf eine 6 als Erwartungswert für diesen einen Versuch und ab da ändert sich der Wert nicht mehr. Aber was bei der einen Zufallsgröße k=132 ist könnte doch bei der anderen k=568 sein oder was ganz anderes, denke ich.

Und dann werden ja 100 Versuche durchgeführt. Was soll ich also rechnen für $\begin{eqnarray*} EX_{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (i={1,2...100}) \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2012, 11:43

Nubler

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wieso aufhören, die reihe kannste relativ einfach ausrechnen.

hinweis: setze p durch q=1-p (dient lediglich der übersichtlichkeit)

klammer 1-q aus

betrachte die reihe.

kommen dir die summanden bekannt vor? (stichwort: differentialrechnung)

11.05.2012, 15:32

Dasiggo

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Hi Nubler,

da bin ich überfragt. Kann es sein das es etwas mit Numerischen Methoden zu tun hat?

Wir haben zwar schon mal Potenzreihen gehabt und Differenzialrechnung haben wir auch schon durchgenommen, aber das man Reihen durch Ableitung lösen kann, habe ich jetzt erst durchs Internet herausgefunden.

Wenn das nichts mit Numerik zu tun hat, dann muss ich etwas in meinen älteren Matheskripten rumblättern, ansonsten ist Numerik das nächste große Thema bei uns.

Aber das hält mich ja nicht auf schon mal einen Lösungsversuch zu wagen:
$\begin{eqnarray*} EX=\sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot (1-p)(1-(1-p))^{k-1}= k \cdot (1-p)\sum\limits_{k=1}^\infty (p)^{k-1} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das richtig verstehe (was ich bezweifle) sollte ich jetzt ableiten?

$\begin{eqnarray*} (p^{k-1})'=p^{k-1}\cdot ln(p) \Rightarrow k \cdot (1-p)\sum\limits_{k=1}^\infty p^{k-1}\cdot ln(p) \end{eqnarray*}$

Naja, ich habe es versucht und an der Rechnung siehst du das ich keine Schimmer habe von Reihenberechnung.

11.05.2012, 16:56

Nubler

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erst mal richtig einsetzen:

$\begin{eqnarray*} q=1-p \rightarrow p=1-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <X>\stackrel{definition}{=}\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}kp(1-p)^{k-1}\stackrel{eingesetzt}{=}\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}k(1-q)q^{k-1}\stackrel{ausgeklammert}{=}(1-q)\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}kq^{k-1} \end{eqnarray*}$

du weisst nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dq}q^k=kq^{k-1} \end{eqnarray*}$

wie kann das dir hier weiterhelfen (stichwort: geometrische reihe)?

hinweris am rande: schau dir nochmal die grundlagen zu reihen und v.a. differentialrechnung an

11.05.2012, 21:16

Dasiggo

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Also das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dq}q^k=kq^{k-1} \end{eqnarray*}$ erkenne ich gleich als eine Ableitung von $\begin{eqnarray*} q^{k} \end{eqnarray*}$ . Ich wüsste aber nicht wie sie mir jetzt weiterhilft. ich kann mir aber vorstellen das ich mit einer zweiten Ableitung das Maximum dieser Reiche rauskriegen könnte.

Dann habe ich mir mal die Geometrischen Reihen bei Wiki angeschaut und folgendes gefunden:
Offenbar gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{0}\cdot q^{k}=a_{0} \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also diese Summe habe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$
Kann ich das umschreiben in
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty q^{k-1}\Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{n(n+1)}{2} \cdot \lim_{n \to \infty } \frac{1-q^{n}}{1-q}= \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}=\infty \cdot \frac{1}{1-q}=\infty \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ ist.
Aber kann das sein? Geht die Folge gegen Unendlich und wenn ja, was mache ich dann? Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ ersetze hilft es mir ja nicht, denke ich.

Und kurz mal zur eigentlichen Frage zurück zu kehren. Wenn ich also n Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_{1},X_{2},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ habe die alle den gleichen Erwartungswert haben z.B. $\begin{eqnarray*} EX=6 \end{eqnarray*}$ , heißt das das dann der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} EX_{i}=6 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i={1,2,...,n} \end{eqnarray*}$ ist? In dem Beispiel in meinem Skript stand nähmlich nur $\begin{eqnarray*} EX_{i}=6 \end{eqnarray*}$ und ich habe mich gefragt wie er entstanden ist. Dass führte dann ja zu den Berechnungen mit Folgen.

11.05.2012, 23:22

Nubler

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Zitat:

Original von Dasiggo

Wenn ich also diese Summe habe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$
Kann ich das umschreiben in
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty q^{k-1} \end{eqnarray*}$

bereits dieser schritt ist falsch, warum?

du solltest dir wirklich die grundlagen im umgang mit reihen gründlich anschaun.

folgendes:

wir waren bei:

$\begin{eqnarray*} <x>=(1-q)\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}kq^{k-1} \end{eqnarray*}$

du weisst bereits, dass $\begin{eqnarray*} kq^{k-1}=\frac{d}{dq}q^k \end{eqnarray*}$ ist.

des kannst du jetzt einfach einsetzen:

$\begin{eqnarray*} <x>=(1-q)\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}\frac{d}{dq}q^k \end{eqnarray*}$

da die ableitung linear ist,kan man sie vor das summenzeichen ziehen:

$\begin{eqnarray*} <x>=(1-q)\frac{d}{dq}\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}q^k \end{eqnarray*}$

die summe sieht fast so aus wie die geometrische reihe, diese beginnt jedoch bei 0, unsere aktuelle aber bei 1.

folgenes: es ist immer möglich eine 0 zu addieren, und dies wollen wir uns hier zu hilfe machen:

wir brauchen für unsere reihe noch den summand $\begin{eqnarray*} q^0 \end{eqnarray*}$ , damit die reihe zu einer geometrischen reihe wird.

also einmal den summand addieren und gleich wieder abziehen, damit man nichts ändert ( mit $\begin{eqnarray*} q^0=1 \end{eqnarray*}$ ) :

$\begin{eqnarray*} <x>=(1-q)\frac{d}{dq}\left(-1+q^0+\sum\limits_{k \in \mathbb{N}}q^k\right) \end{eqnarray*}$

etz den summanden in die reihe ziehen, und siehe da, da steht endlich die geometrische reihe in der (zur übersichtlichkeit gesetzten) eckigen klammer:

$\begin{eqnarray*} <x>=(1-q)\frac{d}{dq}\left(-1+\left[\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}q^k\right]\right) \end{eqnarray*}$

der rest is nur noch nacheinander die klammern ausrechnen. und am schluss rücksubstituieren.

hier kannst du theoretisch unendlich viele versuche haben.

soll eine obergrenze an versuchen gesetzt werden funktioniert die rechnung analog, du musst dir nur überlegen bis wohin du summierst und einen speziellen ausgang des experiements zusätzlich beachen.

12.05.2012, 07:30

Dasiggo

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Erst mal riesen Dank das du dir solche Mühe mit mir machst.

Ich vermute schon warum der erste Schritt falsch war. Ich durfte eine Laufvariable (oder wie sie heißt) nicht ausklammern. Auch wenn ich den ersten Fehler nicht gemacht hätte, wäre ich nie auf die Idee gekommen das es keine geometrische Reihe ist. Wie gesagt, bei uns wurde Reihenberechnung nicht durchgenommen da es bis jetzt, wo ich auf dieses Beispiel gestoßen bin, noch gar nicht nötig war. Da reicht ein paar Stunden Wiki nicht aus.

Also könnte ich jetzt das $\begin{eqnarray*} \left[\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}q^k\right] \end{eqnarray*}$
zunächst so ausrechnen,
$\begin{eqnarray*} \left[\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}q^k\right]=\lim_{k \to \infty } \frac{1-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ dann q=1-p zurücksubstituieren und nach und nach die anderen Klammern ausrechnen?

12.05.2012, 10:55

Nubler

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rücksubstitution erst ganz am schluss wegen der ableitung, die erst nach der substitution eingeführt wurde, aber in prinzip ja

kleine erinnerung: die ableitung wirkt nur auf das, was rechts von ihr steht

edit: was sind deine weiteren schritte und das ergebnis (in abhängigkeit von formparameter)?

12.05.2012, 16:25

Dasiggo

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Was ist ein formparameter? Laut Wiki hat das was mit Erdmessung zu tun.

Wie auch immer: Ich rechne also weiter, jetzt wo ich dank dir alles habe was ich dafür brauche.

$\begin{eqnarray*} (1-q)\frac{d}{dq}\left(-1+\left[\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}q^k\right]\right)=(1-q)\frac{d}{dq}\left(-1+ \frac{1}{1-q} \right)=<br /> (1-q)\frac{d}{dq}\left(\frac{-(1-q)+1}{1-q} \right)=(1-q)\frac{d}{dq}\left(\frac{q}{1-q} \right)=<br /> (1-q)\frac{1}{(1-q)^{2}}=\frac{1}{(1-q)}\stackrel{rueckstubstitution}{\Rightarrow} \frac{1}{(1-(1-p))}=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{1}{6} }=6 \end{eqnarray*}$

Ich habe, dank deiner Geduld, nun wenigstens eine Idee wie so eine Reihe gelöst werden kann. Ich habe dazu eigentlich noch eine Frage, aber die stelle ich lieber in einem neuen Thema.

Falls ich keinen Fehler gemacht habe und nur durch Zufall auf ein richtiges Ergebnis gekommen bin, bitte ich dich mir noch bei der Ursprünglichen Frage zu helfen.

Ich Zitiere mich mal eben selbst:
Und kurz mal zur eigentlichen Frage zurück zu kehren. Wenn ich also n Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_{1},X_{2},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ habe die alle den gleichen Erwartungswert haben z.B. $\begin{eqnarray*} EX=6 \end{eqnarray*}$ , heißt das das dann der Erwartungswert (des zufälligen Vektors?) $\begin{eqnarray*} EX_{i}=6 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i={1,2,...,n} \end{eqnarray*}$ ist? In dem Beispiel in meinem Skript stand nähmlich nur $\begin{eqnarray*} EX_{i}=6 \end{eqnarray*}$ ...

und würde dasselbe auch für die Varianz gelten?

12.05.2012, 16:45

Nubler

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der erwartungswert is linear, des heisst, der erwartungswert einer summe von zufallsvariablen is einfach die summe der erwartungswerte.

da die varianz nich linear ist, ist es dort i.a. etwas komplizierter

12.05.2012, 16:59

Dasiggo

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Nubler, ich danke dir vielmals und wünsche dir noch eine schönen Tag. smile

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