Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

11.05.2012, 11:18

mathelucy

Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} (W_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ eine Brownsche Bewegung auf $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{F}, P) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{F}_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ sei Filtration zu $\begin{eqnarray*} (W_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist nun, dass neben der Brownschen Bewegung $\begin{eqnarray*} (W_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} (W_t^2 - t)_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ ein Martingal bzgl. $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{F}_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Zu zeigen waren auf unserem Übungszettel nun zwei Eigenschaften und ich hing nun an einer Sache. Man muss nämlich an einer Stelle zeigen:

$\begin{eqnarray*} E|W_t^2-t| < \infty \end{eqnarray*}$

Dazu wollte ich nun eine Fallunterscheidung machen und zwar nach Definition des Betrages für

$\begin{eqnarray*} <br /> i) W_t^2 - t > 0, \ also \ E(W_t^2 - t) < \infty<br /> ii) t - W_t^2 > 0, \ also \ E(t - W_t^2) < \infty<br /> \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich diese gemacht und ich erhielt jeweils " $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ " und unser Übungsleiter meinte, dass eine solche Fallunterscheidung nicht möglich bzw. Unfug sei.

Wieso? Das begreife ich nicht.

11.05.2012, 15:34

Zündholz

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)
Hallo,
Wenn du es so wie in (i) oder (ii) gerechnet hast ist das falsch.
Denn W_t ist ja ne Zufallsvariable (also insbesondere eine Funktion). Wenn du eine Fallunterscheidung machen willst dann musst sozusagen das "Integral aufteilen". Also sowas wie eine Indikatorfunktion reinschreiben.

Schöne Grüße

11.05.2012, 15:52

mathelucy

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

Zitat:

Original von Zündholz

Wenn du eine Fallunterscheidung machen willst dann musst sozusagen das "Integral aufteilen". Also sowas wie eine Indikatorfunktion reinschreiben.

Schöne Grüße

Aber ich weiß doch dass $\begin{eqnarray*} W_t^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Ist die Fallunterscheidung dann nicht logisch? Irgendwie sehe ich meinen Fehler nicht. unglücklich

11.05.2012, 20:04

mathelucy

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)
Ok ich denke jetzt hab ichs herausgefunden. Wir müssen die Pfade von $\begin{eqnarray*} (W_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ als Funktionen $\begin{eqnarray*} t \mapsto W_t \end{eqnarray*}$ betrachten. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist dann also als Variable zu verstehen. Meine Fallunterscheidung funktioniert nur für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ konstant.

Jetzt tut sich aber ein anderes Problem für mich auf. EINE korrekte Lösung ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} E|W_t^2 - t| \leq E(W_t^2) + t = Var(W_t) + t = 2t < \infty \ \ (\ast) \end{eqnarray*}$

Nun gilt doch aber sicher schon:

$\begin{eqnarray*} |W_t^2 - t| \leq |W_t^2| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} E|W_t^2 - t| \leq E(W_t^2) = t \end{eqnarray*}$

Wozu dann $\begin{eqnarray*} (\ast) \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2012, 20:51

Zündholz

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

Zitat:

Original von mathelucy
Ok ich denke jetzt hab ichs herausgefunden. Wir müssen die Pfade von $\begin{eqnarray*} (W_t)_{t\geq0} \end{eqnarray*}$ als Funktionen $\begin{eqnarray*} t \mapsto W_t \end{eqnarray*}$ betrachten. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist dann also als Variable zu verstehen. Meine Fallunterscheidung funktioniert nur für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ konstant.

t ist in der Aufgabenstellung schon als fest (aber beliebig) zu verstehen.

Zitat:

Nun gilt doch aber sicher schon:
$\begin{eqnarray*} |W_t^2 - t| \leq |W_t^2| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} E|W_t^2 - t| \leq E(W_t^2) = t \end{eqnarray*}$

Warum sollte das denn gelten? Wenn W_t^2 = 0 wäre (was es natürlich f.s. nicht ist) dann ist doch W_t^2 - t < 0 (ud der Betrag dann echt positiv) für t > 0, aber W_t^2 = 0...

Oder reden wir aneinander vorbei?

12.05.2012, 00:23

mathelucy

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

Zitat:

Original von Zündholz

t ist in der Aufgabenstellung schon als fest (aber beliebig) zu verstehen.

Mit der Annahme hatte ich zu Beginn gerechnet, das katapultiert mich allerdings wieder an den Anfang zurück. Also nochmal meine Fallunterscheidung im Detail:

Sei $\begin{eqnarray*} W_t^2 \geq t \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} W_t^2 - t \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} E|W_t^2 - t| = E(W_t^2 - t) = E(W_t^2) - E(t) = E(W_t^2) - t = Var(W_t) - t = t - t = 0 < \infty \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} t \geq W_t^2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} t - W_t^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} E|W_t^2 - t| = - E(W_t^2 - t) = 0 < \infty \end{eqnarray*}$

Und erneut die Frage nach dem wahrscheinlich (nur gerade für mich nicht) offensichtlichen Fehler?

Zitat:

Original von Zündholz

Warum sollte das denn gelten? Wenn W_t^2 = 0 wäre (was es natürlich f.s. nicht ist) dann ist doch W_t^2 - t < 0 (ud der Betrag dann echt positiv) für t > 0, aber W_t^2 = 0...

Oder reden wir aneinander vorbei?

Ok hier war ich überhastet und habe einen Denkfehler gehabt. Das hat sich dann erledigt.

14.05.2012, 11:58

Zündholz

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)
Ok,
also die Annahme $\begin{eqnarray*} W_t^2 \ge t \end{eqnarray*}$ kannst du so nicht machen, da es sich bei $\begin{eqnarray*} W_t \end{eqnarray*}$ um eine Funktion handelt. D.h.

Sei $\begin{eqnarray*} M := \{\omega: \ W_t^2(\omega)\ge t\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt ( $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ ist das Komliment):

$\begin{eqnarray*} E[|W_t^2 - t|] = E[(W_t^2 - t)\cdot 1_{M} ] - E[(W_t^2 - t)\cdot 1_{M^c} ]. \end{eqnarray*}$

14.05.2012, 12:37

mathelucy

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RE: Existenz des Erwartungswertes (Martingal und BB)

Zitat:

Original von Zündholz

$\begin{eqnarray*} E[|W_t^2 - t|] = E[(W_t^2 - t)\cdot 1_{M} ] - E[(W_t^2 - t)\cdot 1_{M^c} ]. \end{eqnarray*}$

Genial. Natürlich. Vielen Dank. Hat mir sehr weitergeholfen. smile

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