Mengenbeweis

11.05.2012, 10:29	Master Of Puppets	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenbeweis Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe, die wir in der Uni als Übungsaufgabe erhalten haben, nicht ganz verstanden. A, B, C sind Mengen. Zu beweisen: $\begin{eqnarray} (A\cap B) \cup C = A \cap (B\cup C)\Leftrightarrow C \subseteq A \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mit einem Mengendiagramm ist es ganz logisch, aber das ist ja kein richtiger Beweis. Die Richtung "<=" des Äquivalenzpfeils, habe ich schon bewiesen, indem ich mit dem Distributivgesetz aufgelöst habe: $\begin{eqnarray} (A \cup C) \cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray}$ Und dann kann man ja A vereinigt C durch A ersetzen und A geschnitten C durch C, denn C ist eine Untermenge von A. Dann hat man beide Seiten in die jeweils andere umgeformt, oder habe ich etwas falsch gemacht? Für die andere Richtung habe ich aber leider keine Idee.
11.05.2012, 11:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenbeweis Hallo Master of Puppets, Dein Distributivgesetz ist falsch (Setze zum Beispiel mal $\begin{eqnarray} A=\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C\neq \emptyset \end{eqnarray}$ ) Richtig ist: $\begin{eqnarray} (\ast)\quad A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray}$ Ansonsten stimmt Dein Vorgehen aber. Für Die Rückrichtung vergleiche einfach die gegebene Gleichung und die allgemein gültige Gleichung aus dem Distribvutivgesetz $\begin{eqnarray} (\ast) \end{eqnarray}$ . Gruß, Reksilat.
11.05.2012, 11:16	Master Of Puppets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort, aber ich bin jetzt noch verwirrter. Ich habe beim Distributivgesetz doch genau das selbe wie du rausbekommen (auf der rechten Seite). Oder ich habe deinen Post nicht ganz verstanden Und A = leere Menge und C != leere Menge muss mich doch nicht interessieren, da C eine Untermenge von A sein soll, wenn diese Prämisse falsch ist, ist die Aussage trotzdem wahr, oder nicht?
11.05.2012, 11:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Distributivitätsgesetz ist: $\begin{eqnarray} (\ast)\quad A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray}$ Bei der Rückrichtung ist dies zu zeigen: $\begin{eqnarray} (\ast\ast)\quad A \cap (B\cup C)=(A\cap B) \cup C \end{eqnarray}$ Bei Dir steht oben aber: $\begin{eqnarray} (*)\quad (A \cup C) \cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray}$ Und das ist weder das Distributivitätsgesetz, noch ein Zwischenschritt bei der Umformung von $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} (\ast\ast) \end{eqnarray*}$ Das hat mich verwirrt.

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