Kern und Bild einer linearen Abbildung

11.05.2012, 14:26	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer linearen Abbildung Meine Frage: Hey, ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe, die ich sogar schon einmal gemacht habe, sie aber überhaupt nicht mehr verstehe: Im einem Vektorraum seien folgende Vektoren gegeben: v1= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , v2= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , v3= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , w1= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , w2= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , w3= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und noch eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \pi:\mathbb R ^{3} -> \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \pi (vi)=wi \end{eqnarray}$ mit i=1,2,3. Jetzt muss ich von dieser Abbildung den Kern, das Bild sowie deren Dimensionen bestimmen. Meine Ideen: Den Lösungsweg kann ich nachvollziehn, bis auf die Matrix, die am Anfang gebildet wurde, mit welcher weitergerechnet wurde: A:= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Definiert wurde sie, dass $\begin{eqnarray} \pi (x)=Ax \end{eqnarray*}$ . Ich sitze schon seit Stunden vor dieser Aufgabe und kann immer noch nicht nachvollziehn, wie diese Matrix A zustande kommt...aus welchen Vektoren wurde sie gebildet? Kann mir jemand helfen? Viele vielen Dank schon einmal!
11.05.2012, 16:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt. Die Darstellungsmatrix A enthält genau diese Bilder in den Spalten. Die Darstellung ist in der Standardbasis gemacht, so dass $\begin{eqnarray} \pi(v_1)=\pi(e_1)=w_1 \end{eqnarray}$ gilt, und es ist $\begin{eqnarray} \pi(e_2)=\pi(\frac 1 2 (v_3-v_1))=\frac 1 2 (w_3-w_1)=...=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Den 3. Spaltenvektor bekommst du bestimmt genauso ("bestimmt" heißt, ich bin zu bequem zum Rechnen). P.S.: Habe gerechnet, stimmt.
13.05.2012, 14:17	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele vielen Dank, das hat mir echt total geholfen!

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